ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
ИНСТИТУТ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ
ПРИХОДЬКО М.А.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОМСК – 2007
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
ИНСТИТУТ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ
ПРИХОДЬКО М.А.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
РЕКОМЕНДОВАНО УЧЕНЫМ СОВЕТОМ ИВМ ОмГАУ
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
ОМСК – 2007
Оглавление
Предисловие…………………………………………………………4
Введение……………………………………………………………..5
Историческая справка………………………………………………6
Глава 1. Случайные события……………………………………….10
§1. Элементы комбинаторики…………………………………...10
§2. Основные понятия теории вероятностей…………………...12
§3. Вероятность. Классическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность. Статистическая вероятность ….16
Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей………...21
§1. Теорема сложения вероятностей……………………………21
§2. Теорема умножения вероятностей………………………….22
§3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса………….24
Глава 3. Повторные независимые испытания…………………….26
§1. Схема Бернулли. Формула Бернулли………………………26
§2. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы
Муавра - Лапласа………………………………………………..28
§3. Наивероятнейшее число появлений события……………...31
Глава 4. Случайные величины…………………………………….33
§1. Понятие случайной величины……………………………...33
§2. Закон распределения дискретной случайной величины.
Многоугольник распределения………………………………...34
§3. Функция распределения вероятностей случайной
величины………………………………………………………...36
§4. Плотность распределения вероятностей случайной величины.…..............................................................................................39
§5. Числовые характеристики случайных величин…………..44
Глава 5. Некоторые законы распределения случайных величин…………………………………………………………………..51
§1. Биномиальное распределение……………………………...51
§2. Распределение Пуассона…………………………………...53
§3. Нормальное распределение непрерывной случайной
величины…...................................................................................55
Индивидуальные задания для внеаудиторной работы…………..61
Заключение ……………………...…………………………………85
Библиографический список……………………………………….86
Приложение………………………………………………………...87
Предисловие
Темпы развития сельского хозяйства требуют от выпускника аграрного вуза наличия базы фундаментальных знаний и умений, которые обеспечивают более сложное, чем прежде, содержание труда и расширяют функции специалиста. На современном этапе, однако, главное не только много знать но, что важнее, и продуктивно использовать знания.
Цель учебной дисциплины "Математика" состоит в получении студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области математики. Такая подготовка необходима как для успешного усвоения многих специальных дисциплин в процессе обучения в вузе, так и в дальнейшем, для квалифицированной профессиональной деятельности.
На изучение раздела «Элементы теории вероятностей» отводится 88 часов (44% объема учебной нагрузки дисциплины). Специфика этого раздела, высокий уровень абстракции, необходимый для осознания и восприятия учебного материала, требуют наличия сформированных приемов логического мышления, высокого уровня общего развития, владения математическим аппаратом, помогающим анализировать и моделировать профессиональные задачи.
Учебное пособие «Теория вероятностей» предназначено для изучения дисциплины «Математика (Элементы теории вероятностей)» студентами специальности «Ветеринария», дневной и заочной форм обучения. В пособии даны необходимые теоретические сведения и достаточное количество подробно рассмотренных примеров для выработки навыков решения типовых задач.
Введение
Теория вероятностей, как и другие науки, возникла из потребностей практики.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр. Связаны они с именами известных ученых: Д. Кордано ( 1501 – 1576), Х. Гюйгенса (1625 – 1695), Б. Паскаля (1623 – 1662), П. Ферма (1601 – 1665).
Становление теории вероятностей как математической науки, связано с именем Я. Бернулли (1654 – 1705), который ввел классическое определение события и доказал простейший случай закона больших чисел.
В настоящее время методы теории вероятностей имеют приложения в различных естественных и гуманитарных науках (теория надежности, теория массового обслуживания, теория ошибок наблюдений и др.). Теория вероятностей служит также для обоснований математической и прикладной статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и др.
Настоящее учебное пособие составлено в соответствии с программой курса «Математика (Элементы теории вероятностей)», утвержденной для специальности «Ветеринария» и предназначено для самостоятельной работы студентов факультета ветеринарной медицины очной и заочной форм обучения.
Цель курса – изложить основы теории вероятностей, познакомить с основными методами решения вероятностных задач.
Изложение теоретического материала в пособии сопровождается многочисленными примерами прикладной направленности. Для лучшего восприятия и осмысления учебного материала его изложение сопровождается графическими иллюстрациями, схемами, таблицами. В пособии используются материалы, обращающие к личному опыту студентов, и материалы, имеющие практическую значимость с учетом характера будущей профессиональной деятельности.
В настоящем пособии предложены задания для организации внеаудиторной работы по закреплению и совершенствованию навыков решения вероятностных задач (в том числе задания творческого характера), предоставляется возможность выбора заданий разного уровня сложности, что позволяет построить процесс обучения на личностно-ориентированной основе.
Историческая справка.
«
Все,
что под Солнцем существует или возникает,
– прошедшее, настоящее или будущее –
само по себе и объективно всегда имеет
высшую степень достоверности… Случайность
главным образом зависит от нашего
знания, поскольку мы не видим никакого
противоречия к небытию события теперь,
в силу ближайшей причины, нам неизвестной,
оно или осуществляется с необходимостью,
или может осуществиться»
Якоб Бернулли.
Бернулли Якоб (27.12.1654г. — 16.08.1705г.)
Родился 27 декабря 1654 г. По желанию отца он готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками. Испытывая непреодолимое влечение к математике, Якоб Бернулли изучал ее тайком от отца. В 1671 г. получил степень магистра философии. С большим успехом читал проповеди на немецком и французском языках. В то же время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учебников. По обычаю молодых людей того времени после окончания университета он отправился путешествовать, служил домашним учителем в Генуе, а с 1683 г. приступил к чтению лекций по экспериментальной физике в Базеле.
В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность профессора математики в Базельском университете. Успехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат университета единодушно выдвинул на вакантную должность Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось 15 февраля 1687 г. Якобу Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении и теории чисел, где его именем названы числа с некоторыми определенными свойствами. Но главная заслуга ученого в том, что он сформулировал и доказал частный случай важнейшей теоремы теории вероятностей – закона больших чисел. Он был опубликован после смерти Якоба Бернулли в его книге “Искусство предположений” (1713). Через 200 лет та часть книги, что относилась к закону больших чисел, была переведена на русский язык Я.В. Успенским и издана в Петербурге под редакцией академика А.А. Маркова.
«Жизнь прекрасна благодаря лишь двум вещам –
изучению математики и преподаванию математики»
Симеон Дени Пуассон.
Пуассон Симеон Дени ( 21.06.1781 г. – 25.04.1840 г.).
Родился в Питивье (департамент Луара). В 1798 г. поступил в
политехническую школу. Здесь на его способности обратили внимание П. Лаплас, Ж. Лагранж и другие профессора. По окончании курса был оставлен при этом учебном заведении. С 1816 г. – профессор в Сорбонне. Почетный член Пербургской Академии Наук (1826) и член всех научных обществ и академий Европы и Америки.
Пуассон написал свыше 350 работ, значительная часть которых сыграла важную роль в становлении современной науки. В области небесной механики важнейшие работы Пуассона посвящены некоторым специальным задачам лунной и планетной теории, а также устойчивости Солнечной системы. В теории притяжений особый интерес представляют его мемуары "О притяжении сфероидов" (1835) и статья "Замечание об уравнении теории притяжений" (1813), в которых выводится известное уравнение Пуассона. В 2-томном курсе механике, опубликованном в 1811 г., Пуассон развил идеи Ж. Лагранжа и П. Лапласа. Пуассон основательно разработал многие разделы математической физики, дал решение множеству задач электростатики и магнитостатики. В 1829 г. Пуассон положил начало теории девиации. В его исследованиях прикладного характера важное место занимают работы по внешней баллистике и гидромеханике. В теории упругости дал общие методы интегрирования уравнений теории упругости, построил уравнение движения при произвольных начальных данных, ввел константу, которая теперь носит его имя. Существенное значение имеют работы Пуассона, посвященные определенным интегралам, дифференциальным уравнениям с частными производными, вариационному исчислению, рядам, применению теории вероятностей вообще и к вопросам статистики в частности. Пуассон также доказал теорему, которая касалась закона больших чисел (Закон Пуассона), впервые воспользовавшись термином "закон больших чисел".
«Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению:
она заставляет оценивать с точностью то, что справедливо умы чувствуют как бы инстинктом,
часто не имея отдавать себе в этом отчета»
Пьер Симон Лаплас.
ЛАПЛАС Пьер Симон (23.03.1749г. – 5.03.1827г.)
Родился в Нормандии. Учился в школе монашеского ордена бенедиктинцев. В совершенстве изучил древние языки, литературу и искусство, изучал также математику и астрономию. Научная деятельность Лапласа была чрезвычайно разнообразной. Ему принадлежат многочисленные фундаментальные работы по математике, экспериментальной и математической физике и небесной механике. В области математики Лаплас создал работы по теории дифференциальных уравнений (уравнение Лапласа), в частности, по интегрированию уравнений с частными производными (каскадный метод Лапласа решение задач теории потенциала, теплопроводности, электростатики и гидродинамики). Лаплас развил теорию ошибок, обосновал (1811г.), хотя и не строго, способ наименьших квадратов. В 1799г. предложил способ минимального приближения функций, кроме того, он занимался вопросами электродинамики, разрабатывал математические проблемы теории потенциала, нашел шаровые функции от двух переменных. Лаплас развил методы небесной механики и завершил объяснение движения тел Солнечной системы на основе закона всемирного тяготения Ньютона. В 1780 г. Лаплас предложил новый способ вычисления орбит небесных тел, доказал, что кольцо Сатурна не может быть сплошным и высказал предложение о сильном сжатии Сатурна около полюсов. Лаплас разработал теорию движения спутников Юпитера (1789г.), открыл причины ускорения движения Луны (1787г.), определил величину сжатия Земли возле полюсов. Лапласу принадлежит также разработка динамической теории приливов. Результаты исследований в области небесной механики подытожены в классическом "Трактате о небесной механике" (1798 – 1825гг.).
«Замечательно, что теория вероятностей, начавшаяся
с изучения игр, возвысилась до важнейших предметов
человеческого знания»
П. Лаплас.