1.4. Порядок выполнения работы

1. Изучить разделы 1.2, 1.3 настоящих указаний.

2. Для варианта, выбранного из таблиц B1.1 и B.2 (Приложение В), выполнить задания 1 и 2.

3. Составить отчет о выполнении работы.

1.5. Контрольные вопросы

1. Что такое погрешность?

2. Каковы основные источники возникновения погрешностей?

3. Дайте определения абсолютной и относительной погрешности.

4. Что такое верная и значащая цифра в записи приближенного числа? Всегда ли верная цифра в числе совпадает со значащей цифрой?

5. Дайте определение верной цифры в широком (узком) смысле слова.

6. Как учитываются погрешности исходных данных при вычислении арифметических выражений?

7. Каковы основные правила округления результата вычислений, если погрешности операндов явно не заданы?

2. Лабораторная работа №2 «Приближение функций»

2.1. Цель работы

Целью данной лабораторной работы является изучение и практическое применение методов приближения функций.

2.2. Основные теоретические положения и расчетные формулы

Задача интерполирования функций состоит в приближенной замене функции f(x) более простой интерполирующей функцией F(x), значения которой в узлах интерполирования x_j (j=1, 2, …n) совпадают с соответствующими значениями f(x), т.е. справедливо равенство

f(x_j)=F(x_j). (2.1)

На практике чаще всего интерполируют функции f(x), заданные таблично, в точках x_j (j=1, 2, …n), если необходимо узнать f(x) при x≠x_j.

Обычно F(x) отыскивают в виде обобщенного многочлена

, (2.2)

где  линейно-независимая система функций,

а c_i  действительные коэффициенты, определяемые из линейной алгебраической системы:

(2.3)

Пусть .

Тогда c_i определяется единственным образом и F(x) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа:

(2.4)

При вычислении коэффициентов Лагранжа разности удобно расположить следующим образом:

x-x0	x0-x1	x0-x2	...	x0-xn
x1-x0	x-x1	x1-x2	...	x1-xn
x2-x0	x2-x1	x-x2	...	x2-xn
...	...	...	...	...
xn-x0	xn-x1	xn-x2	...	x-xn

Если обозначить произведение элементов соответствующих строк через , а произведение элементов главной диагонали  через , то формула (2.4) будет иметь вид:

(2.5)

В случае равноотстоящих узлов интерполяционная формула Лагранжа имеет вид:

(2.6) где

.

Для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно использовать следующее соотношение:

, (2.7)

где ,

[a,b]  интервал интерполирования.

Существенным недостатком интерполяции по Лагранжу является тот факт, что при известном значении многочлена P_n(x), построенного по значениям y_i (i=1, 2, …, n) в точках x_i  введение нового (n+1)-го узла требует проведения всех вычислений заново.

Этим недостатком не обладает многочлен интерполирования Ньютона.

Интерполяционная формула Ньютона (2.8)для неравноотстоящих значений аргумента:

,

где  разделенные разности m-того порядка.

Отношение называются разделенными разностями 1-го порядка.

Отношение  разделенными разностями 2-го порядка.

Разделенные разности m-го порядка имеют вид:

(2.9)

Для равноотстоящих узлов разделенные разности m-того порядка вычисляются по формуле:

(2.10)

где  шаг интерполирования, .

В точке x≠x_i погрешность интерполяции:

f(x) P_n(x)≈ A(x₀, x₁, …, x_n)×(xx₀)×(xx₁)×…(xx_n).

P_n+1(x) – P_n(x)= A(x₀, x₁,…,x_n+1)×ω_n+1(x),

где ω_n+1(x)=(xx₀)×(xx₁)×…(xx_n).

Если функция f(x) достаточно гладкая и величина |x_n+1–x_n| мала, то справедливо:

A(x₀, x₁, …, x_n) ≈A(x₀, x₁, …, x_n+1)

и тогда:

f(x) P_n(x) ≈ P_n+1(x) P_n(x) и

Δ_{инт многочлена Ньютона}=| P_n+1(x) – P_n(x) |. (2.11)