Введение

Целью лабораторного практикума по дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» является освоение студентами основ вычислительных методов, применяемых для решения инженерных задач, овладение навыками реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценки достоверности полученных результатов.

В настоящих методических указаниях представлены основные теоретические положения по следующим разделам:

• «Исследование погрешностей результатов вычислений при решении задач вычислительной математики»,

• «Приближение функций»,

• «Численное дифференцирование и интегрирование функций»,

• «Численное решение дифференциальных уравнений»,

а также варианты заданий к выполнению соответствующих лабораторных работ.

Каждый раздел построен по стандартной схеме, включающей формулировку цели выполнения лабораторной работы, описание базовых теоретических сведений, примеры решения типовых задач, ссылки на варианты индивидуальных заданий и список контрольных вопросов.

Номер варианта индивидуального задания для выполнения лабораторной работы выбирается как остаток от деления по модулю номера в списке группы на максимальный номер варианта в таблице вариантов заданий для соответствующей лабораторной работы.

По результатам выполненной работы оформляется отчет, включающий в себя следующие разделы:

• цель работы;

• постановка задачи;

• обоснование выбора метода решения поставленной задачи;

• вычислительные алгоритмы;

• тексты программ (программы могут быть написаны на любом языке программирования в любой операционной среде, не возбраняется использование любых пакетов прикладных программ и специализированных сред);

• основные результаты решения поставленной задачи;

• выводы о проделанной работе.

При выполнении домашних заданий и подготовке к выполнению лабораторных работ рекомендуется использовать учебную и справочную литературу [19]. В приложении А приведен пример оформления титульного листа отчёта о выполнении лабораторной работы. В приложение В содержит варианты индивидуальных заданий для выполнения лабораторных работ.

Отчёт о выполнении работы должен быть выполнен аккуратно, содержать все необходимые пояснения и промежуточные результаты. В разделе «Выводы» должен быть проведён анализ полученных результатов и сформулированы соответствующие рекомендации, если это следует из постановки задачи.

1. Лабораторная работа №1 «Исследование погрешностей результата вычислений при решении задач вычислительной математики»

1.1. Цель работы

Овладение студентами навыками вычисления предельных абсолютной и относительной погрешностей результата вычислений и применения правил округления приближенных чисел в узком и широком смысле.

1.2. Основные понятия элементарной теории погрешностей

Теория погрешностей вычислений  раздел вычислительной математики, изучающий причины возникновения и способы оценки всевозможных погрешностей решения задач на ЭВМ.

Мерой точности вычислений могут служить либо предельные абсолютные погрешности , представляющие собой разность между истинным значением величины х и ее приближенным значением :

(1.1)

либо предельная относительная погрешность:

(1.2)

Формулы точного подсчета погрешностей имеют вид:

где m  рациональное число.

Здесь Δ  абсолютная погрешность приближенного числа;  относительная погрешность приближенного числа.

Абсолютные и относительные погрешности для приближенных вещественных чисел тесно связаны с важным понятием верных значащих цифр.

Если абсолютная погрешность числа x (Δх) не превышает половины единицы разряда последней цифры в записи числа x, то говорят, что у числа x все знаки верны. Приближенные числа следует записывать, сохраняя их и отмечая только верные знаки. При подсчете значащих цифр не считаются нули слева.

Например, 0,00139 имеет три верных значащих цифры.

Если число х в десятичном представлении имеет, по крайней мере, t верных значащих цифр, то его относительная погрешность Δх 10^-t.

Если десятичное число х имеет не более р верных значащих цифр, то его относительная погрешность Δх >10^-p.

Наоборот, у числа х с относительной погрешностью Δх Δ⁺х верны не более р значащих цифр, где р  наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству Δ⁺х 10^-p+1.

Если х имеет относительную погрешность Δ(х)Δ^(х), то х имеет не менее q десятичных значащих цифр, где q  наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству Δ^(х)<10^-q.

Таким образом, если имеется множество чисел x_k, с относительной погрешностью Δ(х)_max к максимальному значению , то все числа группы могут быть записаны с помощью не более чем r+1 десятичных разрядов, где r  наибольшее целое число, для которого 10^-r  Δ(х)_max.