4.2. Закон нормального распределения. Построение теоретической кривой распределения размеров деталей в партии

Как было указано, случайные величины в большинстве случаев имеют распределение, соответствующее закону Гаусса (рис.3).

Кривая Гаусса строится в координатах х и у, где х – значение случайной величины, у – плотность вероятности возникновения той или иной величины. В эмпирическом законе распределения взамен плотности вероятности у = f(x) используется частота K_i. По смыслу эти понятия

Рис.3. Теоретическая кривая нормального распределения

одинаковы, но К_i используется для оценки выборки, а у = f(x) для оценки генеральной совокупности.

Уравнение кривой Гаусса

(3)

где х – переменная случайная величина; у = f(x) – плотность вероятности;– среднеквадратическое отклонение величин х от .

Кривая Гаусса обладает рядом свойств. Отметим главные из них.

1. Ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс, сливаясь с ней в бесконечности, то есть зона рас­сеивания случайной величины х лежит в пределах ±.

2. Максимальное значение величины у будет при х =  и соответственно составит

3. Значение величины у для значений х = составляет

4. Кривая имеет перегибы, отстоящие на расстоянии  от среднего значения .

5. При увеличении  кривая "сплющивается", а при уменьшении «вытягивается» вверх (рис.3).

6. Площадь под кривой нормального распределения может быть найдена путем интегрирования уравнения (3) и характе­ризует собой вероятность того, что случайная величина будет располагаться внутри интервала ±. Совершенно очевидно, что в пределы ± попадут полностью все зна­чения х. Поэтому вероятность попадания в этот интервал равна единице:

7. Для практики достаточными являются пределы, равные не ±, а ±3 от значения , так как в эти пределы попадает 99,73% всех значений случайной величины х. Практически считают

Вероятность значений величины х в любом другом интервале может

быть найдена по аналогичной формуле

(4)

Произведя замену переменной х путем подстановки

(5)

получим

Интеграл носит название нормированной функции Лапласа, и его значения для различных приведены в табл.2. Там же приведены и удвоенные значения 2Ф(t). Значение Ф(t) выражает отношение площади, соответствующее заданному интервалу ко всей площади под кривой, которая равна единице.

Введением переменной t начало отсчета величин x переносится в точку, соответствующую .

Таблица 2. Значения нормированной функции Лапласа

t	Ф(t)	2Ф(t)	T	Ф(t)	2Ф(t)
0,0	0,0000	0,0000	1,8	0,4641	0,9281
0,1	0,0398	0,0797	1,9	0,4713	0,9426
0,2	0,0793	0,1585	2,0	0,4772	0,9545
0,3	0,1179	0,2358	2,1	0,4821	0,9643
0,4	0,1554	0,3108	2,2	0,4861	0,9722
0,5	0,1915	0,3829	2,3	0,4893	0,9886
0,6	0,2257	0,4515	2,4	0,4918	0,9836
0,7	0,2580	0,5161	2,5	0,4938	0,9876
0,8	0,2881	0,5763	2,6	0,4953	0,9907
0,9	0,3159	0,6319	2,7	0,4965	0,9931
1,0	0,3413	0,6827	2,8	0,4974	0,9949
1,1	0,3643	0,7287	2,9	0,4981	0,9963
1,2	0,3849	0,7699	3,0	0,49865	0,99730
1,3	0,4032	0,8064	3,1	0,49903	0,99806
1,4	0,4192	0,8385	3,2	0,49931	0,99862
1,5	0,4332	0,8664	3,3	0,49952	0,99903
1,6	0,4452	0,8904	3,4	0,49966	0,99933
1,7	0,4554	0,9109	3,5	0,49977	0,99953

Ранее при рассмотрении полигонов распределения было показано, что отношением площадей может быть найден процент годных и бракованных деталей. Следовательно, этот процент может быть найден и через значения Ф(t). По полигону распределения (рис.1) был найден процент брака для выборки из n = 24, который равнялся 8,3%. Для определения процента брака для генеральной совокупности необходимо заменить полигон теоретической кривой распределения с теми же характеристиками и и найти значения Ф(t) в диапазоне значений х выходящих за пределы допуска.

Определим вероятный процент брака генеральной совокупности по выборке, представленной на рис. 1. Прежде всего определим по формуле (2).

Для подсчета удобно воспользоваться табл.1 и, несколько увеличив количество интервалов, продолжить ее, как это показано в табл. 3.

Таблица 3. Последовательность вычислений параметров теоретической кривой распределения

Номер Интервала	Интервал	Середина интервала xi	Частота Кi	xi –	(xi – )2	(xi – )2   Кi
1	29,82 29,84	29,83	0	– 0,093	–	0
2	29,84 29,86	29,85	0	–0,073	–	0
3	29,86 29,88	29,87	2	–0,053	0,002810	0,005620
4	29,88 29,90	29,89	4	–0,033	0,001090	0,004360
5	29,90 29,92	29,91	5	–0,013	0,000169	0,000845
6	29,92 29,94	29,93	6	0,007	0,000049	0,000294
7	29,94 29,96	29,95	4	0,027	0,000729	0,002920
8	29,96 29,98	29,97	2	0,047	0,002210	0,004420
9	29,98 30,00	29,99	1	0,067	0,004480	0,004480
10	30,00 30,02	30,01	0	0,087	–	0
		Ki = 24		(xi - )2  Ki = 0,022939

Построить на одном графике полигон распределения (был ранее построен на рис. 1) и теоретическую кривую распреде­ления с одинаковыми характеристиками  = 29,923мм и мм. При этом должно быть выдержано равенство площадей под кривыми. Для обеспечения этого требования ординаты теоретического распределения необходимо домножить на масштабный коэффициент х·п (площадь под эмпирической кривой).

С учетом этого ординаты теоретической кривой

		(6)
	у3 0 .	(7)

Рис.4. Замена полигона распределения размеров теоретической кривой

Совмещенные кривые распределения представлены на рис.4. Нанеся на график заданные размеры D_ср и поле допуска IT = 0,12 мм, видим, что часть значений размеров оказыва­ется вне поля допуска (участки заштрихованы).

Для определения процента брака необходимо определить отношение этих площадей ко всей площади кривой. Левый заштрихованный учас­ток справа ограничен значением x₁ = 29,88. Найдем t:

Знак минус можно опустить, так как функция Ф(t) является нечетной:

Ф(–t) = –Ф(t).

По табл.2 для t = 1,39 находим

Ф(1,39)  0,41.