4 Динамика
130. Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с учетом действующих на них сил (в связи с механическим взаимодействием их с другими телами).
Основные аксиомы динамики
Основу динамики составляют законы классической механики Галилея - Ньютона (так называемые аксиомы динамики): закон инерции, закон пропорциональности силы и ускорения, закон равенства действия и противодействия, закон независимости действия сил.
131. Закон инерции - материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.
132. Инерция (инерционность) - свойство материальных тел, заключающееся в стремлении их сохранять неизменной скорость своего движения (или состояние покоя), т.е. сохранять данное кинематическое состояние.
133. Мерой инерции материальных тел являются: масса (при поступательном движении); момент инерции (при вращении). Масса - количество материи данного вида в данной точке (в данном объеме).
134. Момент инерции точки - величина, равная произведению массы точки на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси (центра) вращения,
, кг м2.
Масса определяет инерционность тела только при поступательном движении, так как в этом случае скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени геометрически равны. При вращении вокруг оси инерционность тела определяется не только массой тела, но и тем как масса распределена окрест оси вращения. Чем компактнее (ближе к оси) распределена масса тела, тем меньше инерционность тела и наоборот. Поэтому при вращении тела вокруг оси его инерционность определяет момент инерции тела. Различают моменты инерции тела относительно: точки (начала декартовой системы координат); оси (координатных осей); плоскости (координатных плоскостей).
135. Момент инерции тела относительно точки (оси, плоскости) - величина, равная предельному значению суммы произведений масс элементарных частиц тела на квадрат их кратчайшего расстояния до точки, (оси, плоскости),
, кг .м2.
136. Закон пропорциональности силы и ускорения - ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление, - основное уравнение динамики (рисунок 17).
Рисунок 18 - Движение точки по кривой - а; падение в поле тяжести - б
137. Законы инерции и пропорциональности силы и ускорения справедливы для инерциальных систем отсчета. Инерциальные системы отсчета - системы отсчета неподвижные, связанные с землей или движущиеся прямолинейно и равномерно.
138. Закон равенства действия и противодействия - при взаимодействии двух тел, силы приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Например , где - сила действия на рассматриваемую точку со стороны тела, - сила противодействия телу со стороны точки (сила инерции ), (рисунок 19а), см. также рисунок 18а.
139. Сила инерции материальной точки - сила противодействия телу сообщающему точке ускорение , равная: , где - касательная составляющая силы инерции, пропорциональная касательной составляющей полного ускорения точки; - нормальная составляющая силы инерции, пропорциональная нормальной составляющей полного ускорения , см. рисунок 19а.
Р исунок 19 - Сила действия и сила инерции - а; сложение ускорений - б
140. Закон независимости действия сил - несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение , какое сообщила бы ей одна сила , равная их геометрической сумме , т.е. , где - ускорение точки, сообщаемое точке i-ой силой (рисунок 18б).
Динамика материальной точки
Записав основное уравнение динамики , где в проекциях на оси декартовой и естественной систем координат, см. рисунок 18 и рисунок 12, получим дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых и естественных координатах:
135. 136.
В случае движения несвободной материальной точки по неподвижной шероховатой кривой дифференциальные уравнения в правой части будут содержать проекции на оси систем координат касательной (сила трения) и нормальной составляющих полной реакции этой кривой (твердой шероховатой поверхности), как связи, см. рис. 20б.
В динамике материальной точки решаются (в частности) две так называемые основные задачи: 1-я (прямая);
2-я (обратная).
141. 1-я (прямая) задача динамики точки - задача об определении сил по заданному движению точки.
142. 2-я (обратная) задача динамики точки - задача об определении движения точки по заданным силам.
При решении этих задач исходными являются дифференциальные уравнения движения точки, записанные в общем виде в декартовых или естественных координатах.
Некоторые задачи динамики материальной точки решаются с применением принципа Германа-Эйлера-Даламбера (принцип Даламбера), иначе говоря методом кинетостатики, который формулируется и записывается следующим образом.
Для свободной материальной точки (рисунок 20а).
143. Движущаяся свободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении под действием активных (задаваемых) сил и силы инерции, т.е. - условие псевдопокоя свободной точки под действием сил, сходящихся в точке.
Р исунок 20 - К применению принципа Д`Aламбера для свободной - а; несвободной - б точки
Для несвободной материальной точки (рисунок 20б).
1 44. Движущаяся несвободная материальная точка может рассматриваться как покоящаяся в том или ином рассматриваемом положении под действием активных сил, реакций связи и силы инерции, т.е. - условие псевдопокоя несвободной точки под действием сил, сходящихся в точке, где , т.о.
При решении задач уравнения (143) и (144) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой (или естественной) систем координат.
Различают две меры действия силы и две меры механического движения (рисунок 21). При этом одна из мер - величина векторная, другая - скалярная.
Р исунок 21 - Меры действия силы и механического движения
145. Импульс силы - вектор , динамический параметр, величина, характеризующая передачу материальной точке механического движения со стороны действующего на нее тела за данный промежуток времени, и учитывающий (в отличие от силы) и интенсивность, и продолжительность механического взаимодействия.
146. Импульс постоянной по величине и направлению силы ( ) равен произведению вектора силы на интервал времени ее действия, , Н·м.
147. Импульс переменной по величине и (или) направлению силы ( ) равен: ,
где и - момент начала и конца действия переменной силы , время действия силы .
148. Работа силы - алгебраическая величина, характеризующая передачу точке (телу) механического движения со стороны действующего на не тела (точки) при перемещении точки (тела) на некотором пути.
149. Работа силы, постоянной по величине и направлению, ( ) на конечном перемещении материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:
(рисунок 22а).
Рисунок 22 - К определению работы силы постоянной - а; переменной - б
150. Работа силы, переменной по величине и (или) направлению, ( ) на конечном перемещении материальной точки равна значению криволинейного интеграла взятого от выражения для элементарной работы этой силы на элементарном перемещении точки:
(рисунок 22б), где - элементарный путь, пройденный точкой за элементарный интервал времени; - элементарное приращение дуговой координаты точки; - - орт касательной; - элементарное приращение радиус-вектора точки; - проекции силы на оси декартовой системы координат: - элементарное приращение координат точки; - проекция силы на касательную к траектории в данной точке; .
151. Мощность постоянной силы - отношение элементарного приращения работы силы к элементарному интервалу времени , в течении которого имело место это приращение, т.е. - работа совершаемая в единицу времени:
152. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ ее составляющих на том же перемещении:
.
153. Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях:
.
154. Количество движения материальной точки - вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки на модуль скорости ее движения:
(рисунок 23а).
Р исунок 23- Количество движения точки - а; и момент количества движения - б
155. Производная от вектора количества движения точки по времени равна равнодействующей всех сил, действующих на точку:
.
156. Приращение вектора количества движения точки за конечный интервал времени равно геометрической сумме импульсов всех сил, действующих на точку в течении этого интервала времени:
или
157. Записав уравнение (156) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
Уравнения (155-157) - разные формы записи теоремы об изменении количества движения материальной точки: дифференциальная векторная, векторная конечная и аналитическая конечная соответственно.
В случае, когда или, например , уравнения (156) и (157) называют законом сохранения количества движения материальной точки в целом ( ) или - в проекции на ось в частности ( ).
158. Момент количества движения материальной точки относительно центра О - вектор , направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через вектор количества движения точки и центр в ту сторону, смотря откуда вектор виден направленным против вращения часовой стрелки, и равный: (рисунок 23б).
159. Момент количества движения материальной точки относительно оси - алгебраическая величина, взятая со знаком плюс или минус, и равная произведению модуля проекции вектора количества движения точки на плоскость , перпендикулярную оси , на плечо этой проекции относительно этой оси : (рисунок 23б).
160. Производная от вектора момента количества движения точки относительно центра по времени равна главному моменту всех сил, действующих на точку, относительно этого центра:
.
161. Записав уравнение (160) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
Уравнения (160) и (161) - теорема об изменении момента количества движения точки, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно,
В случае, когда или, например , уравнения (160) и (161) называются законом сохранения момента количества движения точки относительно центра ( ) или - оси ( ).
162. Приращение кинетической энергии материальной точки при ее движении на некотором пути равно сумме работ всех сил, действующих на точку на этом пути: , где , , - кинетическая энергия точки в конечном и начальном положениях.
163. Кинетическая энергия точки - скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы точки на квадрат скорости ее движения: , ( - всегда положительный скаляр).
Динамика твердого тела и механической системы
Все силы, действующие на механическую систему, делятся на внешние и внутренние. Ко внешним силам относятся активные (задаваемые) силы и реакции внешних связей. Ко внутренним силам относят реакции внутренних связей - силы взаимодействия между телами (точками), входящими в рассматриваемую систему тел (точек).
164. Свойство системы внутренних сил - главный момент и главный вектор внутренних сил равны нулю ( , ), так как все внутренние силы, являясь силами действия и противодействия между отдельными телами (точками) системы, попарно равны по модулю и противоположны по направлению.
165. Центр масс системы материальных точек - точка, радиус-вектор которой определяется уравнением: , где и масса и радиус-вектор i-ой точки механической системы (рисунок 24а).
Рисунок 24 - К определению центра масс - а;
возможные перемещения: угловое рычага и линейные его точек и - б
166. Записав уравнение (165) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражения для координат центра масс
, , , см. рисунок 24а.
167. Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка массой равной массе всей системы , к которой приложены все внешние силы , действующие на систему, - теорема о движения центра масс:
- II-ой закон Ньютона (основное уравнение динамики) для центра масс.
Здесь - равнодействующая, соответственно, внешних и внутренних сил, действующих на i -ую материальную точку. - главный вектор всех внешних сил, действующего на систему материальных точек, j - номер j- ой внешней силы.
168. Записав уравнение (167) в проекциях на оси декартовой системы координат получим дифференциальные уравнения движения центра масс:
169. Количество движения системы материальных точек - вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы: где - скорость движения центра масс.
170. Производная от количества движения системы материальных точек по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на все точки этой системы: .
171. Записав уравнение (167) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
Уравнения (168) и (169) - дифференциальные (векторная и аналитическая) формы записи теоремы об изменении количества движения системы материальных точек (механической системы).
172. В случае, когда или, например , уравнения (168) и (169) называют законом сохранения количества движения системы материальных точек в целом или - в проекции на ось в частности.
173. В векторной конечной форме теорема об изменении количества движения системы материальных точек имеет вид: или
174. Записав уравнение (173) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим выражение для теоремы об изменении количества движения механической системы в аналитической конечной форме:
175. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно центра - вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы, взятых относительно этого центра:
176. Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно оси - алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы, взятых относительно этой оси:
177. Производная от кинетического момента системы материальных точек относительно центра по времени равна равна главному моменту всех внешних сил, действующих на все точки этой системы, относительно того же центра:
178. Записав уравнение (177) в проекциях на оси декартовой системы координат, получим:
Уравнения (177) и (178) - теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек, записанная в дифференциальной векторной и аналитической формах соответственно.
179. В случае, когда или, например, , уравнения (177) и (178), называются законом сохранения кинетического момента системы материальных точек относительно центра ( ) или - оси ( ).
180. Кинетическая энергия механической системы - сумма кинетических энергий всех ее частей (точек, тел): .
Формулы для вычисления кинетической энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице.
181. Приращение кинетической энергии механической системы на некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на все точки (тела) этой системы, на данном перемещении: , где - кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях.
Формулы для вычисления кинетической энергии тела (для основных видов движения тел) приведены в таблице.
182. Принцип Даламбера для несвободной механической системы - движущаяся несвободная механическая система может рассматриваться как покоящаяся под действием внешних активных (задаваемых) сил, реакций внешних связей и сил инерции. Условия такого псевдопокоя - равенство нулю суммы главных векторов всех этих сил и суммы главных моментов этих сил относительно любого центра:
183. Аналогично формулируется и записывается принцип Даламбера для свободной механической системы, но естественно без реакций внешних связей и их моментов, т.е.
При решении задач уравнения (182) и (183) записываются в аналитической форме, т.е. в проекциях на оси декартовой или естественной системы координат.
184. Абсолютно твердое тело как система материальных точек - неизменяемая система бесконечно большого числа элементарных частиц (материальных точек), бесконечно малое расстояние между которыми всегда неизменно.
185. Масса твердого тела как системы материальных точек - предельное значение суммы масс ее элементарных частиц: О массе и моменте инерции тела (точки), как мерах инерции см. п.126 - 129.
186. Радиус инерции тела - расстояние от оси вращения до точки, в которую должна быть сосредоточенна вся масса m тела, чтобы момент инерции этой материальной точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела относительно этой же оси:
187. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс тела, и параллельной оси , и произведения массы тела на квадрат кратчайшего расстояния между осями: - теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей.
Решение ряда задач динамики механической системы, состоящей из твердых тел, предполагает приведение системы сил инерции, действующих на все частицы каждого тела, к центру масс каждого тела (или другому центру приведения, если это целесообразно).
188. В результате приведения сил инерции к центру, как правило к центру масс, система бесконечно большого числа элементарных сил инерции, действующих на все частицы тела, заменяется, в общем случае, одной силой, равной главному вектору сил инерции и приложенной в центре приведения (например в центре масс), и одной парой сил, с векторным моментом, равным главному моменту сил инерции, взятому относительно выбранного центра приведения:
Аналитически многие задачи динамики, а также и статики механической системы изящно (не взирая на степень их сложности) решаются методами аналитической механики. В аналитической механике исходными понятиями являются: степень свободы, обобщенная координата, возможное перемещение, обобщенная скорость, обобщенная сила.
189. Обобщенные координаты - независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы. Для голономной несвободной механической системы число обобщенных координат равно числу степеней свободы.
Подавляющее число механизмов, используемых в технике, является системами с одной степенью свободы, например: рычаг, лебедка, кривошипно-шатунный механизм, планетарный механизм, тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и т.п. Две степени свободы имеет центробежный регулятор. Три степени свободы имеет: свободная материальная точка; несвободное сферически движущееся тело; тело, совершающее плоское движение. Шесть степеней свободы (наибольшее число степеней свободы) имеет свободное твердое тело в общем случае его движения.
190. Голономная несвободная механическая система - несвободная механическая система, перемещение которой в пространстве ограничено голономными (интегрируемыми) связями.
191. Голономная интегрируемая связь - связь, описываемая уравнениями в конечной форме или интегрируемыми дифференциальными уравнениями.
192. Возможные (виртуальные) перемещения - воображаемые элементарные (линейные или угловые, например: ) перемещения точек тела (тел) механической системы), в действительности допускаемые связями, ограничивающими перемещение тела (тел) в пространстве (рисунок 24б).
Для стационарной (с постоянными по времени связями) механической системы действительные перемещения входят в число ее возможных перемещений, т.е. являются их частными случаями.
193. Идеальная связь - связь, для которой сумма работ реакций этой связи на возможных перемещениях точек их приложения равна нулю: Например, абсолютно гладкая поверхность, шероховатая поверхность в случае качения без скольжения.
194. Абсолютно гладкая поверхность - научная абстракция, модель, которой заменяется реальная шероховатая поверхность, в результате чего не принимается во внимание трение.
В действительности все поверхности трения достаточно шероховаты и трение имеет место даже при наличии смазки поверхностей трения. В связи с этим силу трения - касательную составляющую полной реакции поверхности как связи - переносят в группу активных (задаваемых) сил, делая тем самым связь условно идеальной, что позволяет применять для решения ряда задач принцип возможных перемещений.
Принцип возможных (виртуальных) перемещений
195. В случае покоя (равновесия) несвободной механической системы (общее уравнение статики)
Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними идеальными связями, находящейся в покое (равновесии), сумма работ всех внешних активных (задаваемых) сил на любом возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна нулю:
или
196. В случае движения несвободной механической системы (общее уравнение динамики)
Для несвободной механической системы со стационарными двухсторонними связями в любой момент времени сумма работ всех активных (задаваемых) сил и сил инерции на любом возможном перемещении ее из рассматриваемого положения равна нулю:
или
Для механической системы с одной степенью свободы достаточно записать и решить одно уравнение (195) или (196). Если же система имеет несколько степеней свободы, то уравнение (195) или (196) записывают для каждого независимого перемещения в отдельности. Таким образом, записывается и решается совместно столько уравнений (195) или (196) сколько степеней свободы имеет рассматриваемая механическая система.
197. Колебательное движение материальной точки - движение осуществляемое под действием системы сил, непременно включающей восстанавливающую силу (см. рисунок 25).
II
I
198. Восстанавливающая сила - сила , стремящаяся вернуть материальную точку в положение равновесия (см. рис. 25).
1 99. Возмущающая сила - сила периодически действующая на материальную точку и поддерживающая ее колебательное движение (см. рис. 26).
200. Координата материальной точки (см. рис. 26), совершающей свободные колебания под действием линейно изменяющейся восстанавливающей силы , где - …[H/м] - коэффициент жесткости линейно деформирующейся (периодически растягивающейся и сокращающейся вдоль оси 0х абсцисс ) пружины] изменяется по закону
, [ м ] - уравнение гармонических колебаний материальной точки.
201. Амплитуда свободных колебаний материальной точки - максимальное удаление (отклонение) материальной точки от положения 0 равновесия в крайнее левое В или крайнее правое D положения, где
и - начальная координата и проекции начальной скорости движения материальной точки; , [c-1] - циклическая частота свободных колебаний материальной точки; - начальная фаза колебаний, .
202. В диапазоне значений угла каждому значению соответствует два значения угла. Поэтому необходимо знать значения и .
203. Период свободных колебаний - интервал времени в течении которого совершается одно колебание, т.е. время, за которое точка возвращается, например, в крайнее правое положение D, или - промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через какое-либо фиксированное положение, например положение 0 равновесия (см. рис. 27)
204. Координата материальной точки (см. рис. 28), совершающей затухающие колебания под действием линейно изменяющиеся восстанавливающей силы при линейном законе сопротивления движению , изменяется по закону , [ м ] - уравнение свободных затухающих колебаний.
205. - 1 константа (как и величина ) интегрирования дифференциального уравнения затухающих колебаний, -2 гипотетическое… максимальное отклонение материальной точки от положения равновесия равное , при с, т.е. в начальные момент времени (см. рис. 28).
206. - частота свободных затухающих колебаний материальной точки, где [c-1] - коэффициент затухания свободных колебаний материальной точки.
207. , т.к. в диапазоне значений угла (начальной фазы затухающих колебаний) каждому значению соответствует два значения угла, необходимо знать значения и .
208. - период свободных затухающих колебаний - промежуток времени между двумя последовательными прохождениями материальной точки в одном направлении через положение равновесия.
209. Реальная (действительная) амплитуда свободных затухающих колебаний величина переменная … и т.д. см. рис. 30 - наибольшее отклонение в ту или другую сторону от положения равновесия в течении каждого колебания.
210. Последовательные значения переменной - амплитуды затухающих колебаний образуют ряд
211. Отношение последовательных членов и ряда к соответствующим моментам времени и , см. рис. 30 равно:
- отвлеченное число, так называемый декремент затухающих колебаний - const для данного ряда последовательных значений амплитуды (значений параметров затухающих колебаний).
- логарифмический декремент затухающих колебаний.
212. Апериодическое движение материальной точки - движение материальной точки под действием восстанавливающей силы при значительном сопротивлении движению, когда , устраняющем колебательный характер движения.
Уравнение апериодического движения при содержит гиперболический синус аргумента , где и - константы интегрирования дифференциального уравнения затухающих колебаний при , - некоторая константа. В таком случае графики апериодического движения имеют вид:
а) при начальном движении материальной точки в направлении отсчета положительных значений координаты , когда скорость достаточно велика;
б) при начальном движении в направлении отсчета отрицательных значений координаты , когда начальная скорость достаточно велика;
в ) при начальном движении в направлении отсчета отрицательных значений координаты , когда начальная скорость невелика;
213. Уравнение апериодического движения материальной точки при имеет вид:
.
214. Практически наиболее важным является гармонический закон изменения возмущающей силы , см. рисунок 32.
215. Параметры гармонически изменяющейся возмущающей силы:
- амплитуда возмущающей силы наибольшее значение модуля возмущающей силы , [ Н ] ;
- частота изменения возмущающей силы, [ с-1 ] - число полных циклов изменения возмущающей силы за секунд;
- фаза изменения возмущающей силы, [рад], [ ];
- начальная фаза изменения возмущающей силы, [рад], [ ];
- период изменения возмущающей силы, [ c ].
Например: , , где - модуль центробежной силы, - угловая скорость вращения несбалансированной массы , см. рисунок 32.
216. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний:
, где .
Уравнение гармонических вынужденных колебаний малой частоты
где - амплитуда вынужденных гармонических колебаний малой частоты, когда . В этом случае материальная точка отклонена в ту сторону, в которую направлена в данный момент времени возмущающая сила , см. рис. 32.
218. Уравнение гармонических вынужденных колебаний большой частоты
где - амплитуда вынужденных гармонических колебаний большой частоты, когда . В этом случае отклонение материальной точки от положения равновесия всегда противоположно направлению возмущающей силы в данный момент времени.
Таким образом вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления движению - результирующие вынужденные колебания, складывающиеся из свободных колебаний материальной точки под действием восстанавливающей силы и собственно вынужденных колебаний под действием возмущающей силы , т.е. .
При - явление резонанса, см. рис. 33.
Статистическое отклонение материальной точки от положения равновесия, когда ,
.
221. Коэффициент динамичности равен , при ; ,
при . При и - явление резонанса, см. рис. 33.
2 22. Вынужденные колебания материальной точки при наличии сопротивления движению, см. рис. 34 - результирующие колебания, складывающиеся из затухающих колебаний материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению (или апериодического движения) и собственно вынужденных колебаний материальной точки под действием возмущающей силы .
Дифференциальное уравнение таких колебаний и его
решения:
при незначительном сопротивлении движению, когда
;
- при значительном сопротивлении движению (апериодическое движение), когда
;
- при значительном сопротивлении движению (апериодическое движение), когда
.
224. Амплитуда вынужденных колебаний с учетом сопротивления движению равна:
а) при малых частотах вынужденных колебаний,
;
б) при больших частотах вынужденных колебаний,
225. Сдвиг фазы вынужденных колебаний - угол на который фаза вынужденных колебаний меньше (отстает) от фазы изменения возмущающей силы, - при вынужденных колебаниях малой частоты, когда .
226. Коэффициент динамичности вынужденных колебаний малой частоты с учетом сопротивления движению равен:
.
227. При равенстве (близости) частот свободных и вынужденных колебаний материальной точки, т.е. когда (или ) наступает резонанс - резкий рост амплитуды вынужденных колебаний, см. рис. 35 . Сопротивление движению сдерживает рост амплитуды при наступлении резонанса.
Н а частоте и периоде результирующих вынужденных колебаний сопротивление движению не сказывается, потому
228. - период результирующих вынужденных колебаний, он же период изменения возмущающей силы, т.е. период собственно вынужденных колебаний; где - частота результирующих вынужденных колебаний, она же частота изменения возмущающей силы, т.е. частота собственно вынужденных колебаний.
Графики результирующего вынужденного колебания материальной точки и его составляющих колебаний приведены на рисунке 36.