4. Виробнича функція Кобба – Дугласа

Ряд економічних показників моделюється за допомогою функції, що є композицією перерахованих функцій, що дозволяє також звести їх до лінійних. Найчастіше дана модель використовується при аналізі виробничих функцій.

Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію Y = ậ₀ F ^ậ1 L ^ậ2, 0 < ậ₁ <1, 0 < ậ₂ <1 (10) називають виробничою функцією Кобба - Дугласа. У загальному вигляді права частина рівності може містити більшу кількість факторів.

Дана функція шляхом логарифмування (ln е^аt = аt) зводиться до лог-лінійної моделі. Значення статистичних оцінок параметрів ậ₀, ậ_1, ậ₂ функції одержимо шляхом логарифмування

ln Y = ln ậ₀ + ậ₁ lnF + ậ₂ lnL + и (11)

Тут ậ_1, ậ₂ - еластичності випуску за витратами капіталу й праці відповідно. Сума цих коефіцієнтів є таким важливим економічним показником, як віддача від масштабу:

• при ậ_{1 +} ậ₂ = 1 говорять про постійну віддачу від масштабу (у скільки разів збільшуються витрати ресурсів, у стільки ж раз збільшується випуск);

• при ậ₁ + ậ₂ < 1 має місце спадна віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску менше збільшення витрат ресурсів);

• при ậ_{1 +} ậ₂ > 1 — зростаюча віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску більше збільшення витрат ресурсів).

Завдання №2 на самостійну роботу

Припустимо, що між показником Y і одним із факторів X ( ЗАВДАННЯ №1 для СР ) існує лінійна або нелінійна залежність.

а) Побудуйте кореляційне поле й висуньте припущення про формулу залежності між розглянутими показниками.

б) Оцініть коефіцієнти лінійної регресії Y = â₀ + â₁ Х₁ + û.

в) Оцініть коефіцієнти квадратичної регресії Y = â₀ + â₁ Х₁+â ₂ Х ²+ û.

г) Знайти оцінки параметрів показникової регресії .

д) Із надійністю = 0,95 зробити висновок про адекватність прийнятої стохастичної залежності, про значущість оцінок параметрів моделі.

е) Оцініть якість побудованих регресії. Яку з моделей ви оберете для використання – розрахунку прогнозу ?

Приклад. Досліджується залежність між зміною заробіт­ної плати Y (%) від рівня безробіття X (%) на основі вибіркових даних, наведених у таблиці.

1) визначити вид функціональної залежності y_i = f(x_i)

2) знайти статистичні оцінки для параметрів визначеної залежності;

3) обчислити R², R.

	x	Z =1/x	y	y м	е
	8,40	0,12	0,60	0,47	0,13
	8,00	0,13	0,80	0,61	0,19
	7,50	0,13	0,90	0,81	0,09
	6,90	0,14	1,00	1,09	-0,09
	6,60	0,15	1,10	1,24	-0,14
	6,50	0,15	1,20	1,30	-0,10
	6,00	0,17	1,70	1,61	0,09
	5,90	0,17	1,80	1,67	0,13
	5,00	0,20	2,00	2,40	-0,40
	5,20	0,19	2,10	2,22	-0,12
	4,00	0,25	2,40	3,60	-1,20
	4,20	0,24	3,00	3,31	-0,31
	4,30	0,23	3,20	3,18	0,02
	4,40	0,23	3,60	3,05	0,55
	3,80	0,26	4,00	3,91	0,09
	3,90	0,26	4,10	3,75	0,35
	3,70	0,27	4,40	4,08	0,32
	3,50	0,29	4,80	4,45	0,35
	3,30	0,30	5,10	4,86	0,24
	3,00	0,33	5,40	5,59	-0,19
					0,00	сума
	ЛІНІЙН	23,89	-2,38
		1,36	0,30
		0,95	0,38
		309,39	18,00
		44,25	2,57

1. Знайдемо оцінки параметрів ậ₀ та ậ₁ для моделі Ŷ = ậ₀ + ậ₁ · + û за МНК

Таким чином, можемо записати наступну емпіричну модель: Ŷ = -2,38 + 23,89· + û.

2. Графік залежності між результативним та пояснювальним фак­тором, побудований за розрахованою моделлю, представлено на рис.

3. Коефіцієнт детермінації R² =0,95.

.