- •Приложение 3 Алгоритмы решения ключевых задач
- •II. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 2 «Дискретные и непрерывные случайные величины»
- •III. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 3 «Элементы математической статистики»
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •Вычисление вероятности событий по определению Задача № 2-а. Студент знает ответы на 18 вопросов зачета из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на зачете известный ему вопрос? Решение:
- •Вычисление вероятностей событий с помощью соединений
- •Вычисление вероятности события a по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса. Задача № 5.
- •Вычисление вероятностей числа успехов в независимых повторных испытаниях по формуле Бернулли
- •Вычисление вероятностей числа успехов в независимых повторных испытаниях по формуле Пуассона
- •Алгоритм № 8
- •Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов. Независимые повторные испытания. Схема Бернулли.
- •Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании
- •Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов гипергеометрических распределений
- •Вычисление числовых характеристик нсв,
- •Вычисление числовых характеристик нсв, равномерно распределенной на отрезке [a,b], а также вероятность
- •Вычисление числовых характеристик нсв, имеющей показательное распределение на отрезке [a,b]
- •III. Комплексные умения и алгоритмы к
- •Разделу 3 «Элементы математической статистики»
- •Алгоритм на умение №18
- •Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.
- •Алгоритм на умение №2/19 Построение полигона и гистограммы
- •Алгоритм на умение №4/21 Вычисление точечной несмещенной оценки для дисперсии
- •Алгоритм на умение № 5/22
- •Алгоритм на умение №6/23
- •Вычисление доверительных интервалов для математического
- •Ожидания m нормального распределения
- •Задача 23.
- •Алгоритм на умение №7/24
- •Вычисление доверительных интервалов для генеральной
- •Дисперсии d и среднеквадратичного отклонения
- •Задача 24.
- •Алгоритм на умение №8/25 Вычисление доверительного интервала для вероятности р наступления события а с помощью таблиц нормального распределения
Приложение 3 Алгоритмы решения ключевых задач
Оглавление раздела «Алгоритмы»
I. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 1 «Основные понятия и теоремы теории вероятностей»
Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств.
Вычисление вероятностей событий по определению.
Вычисление вероятностей событий по известным вероятностям других событий, с ними связанных.
Вычисление вероятностей событий в зависимости от числа различных подмножеств конечных множеств (различных соединений).
Вычисление вероятности события A по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса.
Вычисление вероятностей для числа m успехов в независимых повторных испытаниях n (биномиальные распределения), по формуле Бернулли, если надо найти точное значение m, где n<10.
Вычисление вероятностей для числа m успехов в независимых повторных испытаниях n по формуле Пуассона, если вероятность р наступления события А мала, а n велико и =nр<10.
Вычисление вероятности числа m успехов для n независимых повторных испытаний, если n велико и np>10, когда надо найти
а) конкретное значение вероятности для m (по формуле Муавра-Лапласа);
б) вероятности попадания в интервал [m1,m2] (по формуле Лапласа).
II. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 2 «Дискретные и непрерывные случайные величины»
9. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для подсчета вероятностей числа успехов по схеме Бернулли (биномиальные распределения).
10. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов в k-ом испытании (геометрические распределения).
11. Составление ряда распределений и вычисление числовых характеристик для вычисления вероятностей числа успехов гипергеометрических распределений.
12. Вычисление числовых характеристик ДСВ Z=f(X,Y). Вычисление вероятности попадания в интервал случайной величины Z=f(X,Y).
13. Вычисление числовых характеристик НСВ, а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b).
14. Вычисление числовых характеристик НСВ, равномерно распределенной на отрезке [a,b], а также вероятность попадания НСВ Х в интервал P(a< Х < b).
15. Вычисление числовых характеристик НСВ, имеющей показательное распределение на отрезке [a,b], построение графика функции распределения.
16. Вычисление вероятности попадания нормально распределенной НСВ Х в интервал P(a< Х < b).
17. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что НСВ отличается от среднего на величину .
III. Комплексные умения и алгоритмы к разделу 3 «Элементы математической статистики»
1/18. Построение вариационного ряда, эмпирической функции распределения и ее графика - кумуляты.
2/19. Построение полигона и гистограммы
3/20. Вычисление точечной оценок параметров распределения по выборке.
4/21. Вычисление точечной несмещенной оценки для дисперсии.
5/22. Нахождение с помощью статистических таблиц интервала, в который с заданной вероятностью попадает случайная величина, распределенная нормально или по Стьюденту.
6/23. Вычисление доверительных интервалов для математического ожидания m нормального распределения.
7/24. Вычисление доверительного интервала для генеральной дисперсии D и среднеквадратичного отклонения .
8/25. Вычисление доверительного интервала для вероятности р наступления события А с помощью таблиц нормального распределения.
Комплексные умения и алгоритмы
к разделу 1 «Основные понятия и теоремы теории вероятностей»
№ |
Умения |
Алгоритмы |
1 |
Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств. |
1.Установить количество элементов всего множества n и количество элементов его подмножества m. 2. Определить, влияет ли порядок расположения элементов в подмножестве на число вариантов различных подмножеств, состоящих из этих m элементов. 3. Выбрать, в зависимости от конкретного случая, комбинаторную операцию: а) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то перестановки без повторений Pn=n!; б) если число комбинаций всего множества зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то перестановки с повторениями ; в) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то размещения без повторений ; г) если число комбинаций в подмножестве (выборке) зависит от порядка расположения элементов в нем и элементы повторяются, то размещения с повторениями ; д) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и нет повторяющихся элементов, то сочетания без повторений ; е) если число комбинаций в подмножестве (выборке) не зависит от порядка расположения элементов в нем и есть повторяющиеся элементы, то сочетания с повторениями . |
2 |
Вычисление вероятностей событий по определению. |
1.Ввести обозначения для заданных величин и вопроса задачи. 2. Выбрать формулу вероятности, соответствующую данному случаю: а)классическое определение: если задано общее число равновозможных исходов n и число исходов m, благоприятных событию А (которые можно сосчитать), то находим вероятность по формуле ; б) геометрическое определение: если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса, куб и др.– как полное пространство элементарных событий ), то надо
|
3 |
Вычисление вероятностей событий по известным вероятностям других событий, с ними связанных. |
1. Обозначить все события, указанные в задаче. Известные вероятности представить в виде дроби. 2.Установить связи между событиями. 3. Вычислить требуемые вероятности, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу для вычисления противоположного события; если надо вычислить вероятность того, что событие произойдет а) не менее, чем k раз, то надо найти P(m k)= ; б) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза» - P(0 m n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), если «хотя бы 2 раза» - Pn(2 m n)= ; в)не более чем k раз, то вычисляют ; г)более, чем k раз, то вычисляют ; д) менее, чем k раз, то вычисляют ; |
4 |
Вычисление вероятностей событий в зависимости от числа различных подмножеств конечных множеств (различных соединений). |
3. Найти формулу вероятности для данного случая, пользуясь классическим определением по формуле . |
5 |
Вычисление вероятности события A по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса.
|
1.Дать описание всех гипотез H1, H2, … , Hn, на которые можно разбить пространство элементарных исходов и события A. 2.Вычислить вероятность каждой гипотезы P(H1), P(H2),…,P(Hn).
4. Вычислить вероятность события A по формуле полной вероятности: . 5.Вычислить вероятность гипотезы Hi при условии, что событие А произошло, по формуле Байеса: = . |
6 |
Вычисление вероятностей числа m успехов в n независимых повторных испытаниях (биномиальные распределения), по формуле Бернулли, если надо найти точное значение m, где n<10.
|
В колонке "Конкретное соответствие" выписать заданные в задаче значения n, m и p. 2. Сосчитать вероятность: если требуется найти вероятность того, что событие произошло а) ровно m раз, то надо пользоваться формулой Бернулли для биномиальных распределений:
б) не менее, чем k раз, то надо найти P(m k)= ; по алгоритмам 3а) и 5а). в) если «хотя бы один раз» или «не менее одного раза»- P(0 m n)= (событие, противоположное тому, что A не произошло ни разу), г)хотя бы 2 раза - Pn(2 m n)= и т.д., по алгоритмам 3-б) и 5-а).
|
7 |
Вычисление вероятностей числа m успехов в независимых повторных испытаниях n (биномиальные распределения), по формуле Пуассона, если вероятность р наступления события А мала, а n велико и =nр<10;
|
, используя для вычислений таблицы 1-а(конкретные значения) и 1-б (значения на интервале), а также алгоритмы 3а) и 3б). Вычисления можно выполнить на калькуляторе. |
8 |
Вычисление вероятностей для числа m успехов в n независимых повторных испытаниях, если n велико и np>10, когда надо найти для m а) конкретное значение вероятности; б)вероятность попадания в интервал [m1,m2]..
|
1.Ввести обозначения для заданных величин, используя алгоритм 5. 2. а) Вычислить вероятность, используя формулу Муавра-Лапласа: , функция (х) затабулирована (таблица 2), затабулирована причем (х)=(-х). б) Вычислить вероятность, используя интегральную формулу Лапласа: Рn(m1mm2)=Ф(х2)-Ф(х1), где и Ф(х) - функция Лапласа затабулирована (таблица 3), причем Ф(-х)=-Ф(х).
|
Алгоритм на умение № 1
Вычисление числа соединений - вариантов различных подмножеств (выборок) для конечных множеств
Задача1-а. В футбольном турнире участвовали команды пяти факультетов. Найти число вариантов возможного распределения мест между ними.