Общие положения

Использование метода сил для расчета систем с высокой степенью статической неопределимости связано с решением совместной системы большого количество линейных уравнений. В связи с этим нужно стремиться так выбрать основную систему, чтобы как можно большее число побочных единичных перемещений , (i ≠ k) и свободных членов обратилось в ноль. Основным средством для достижения этой цели является использование симметрии.

Стержневая система называется симметричной, если симметричны не только оси и опорные закрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости симметрично расположенных элементов равны между собой (упругая симметрия). При этом усилия (и внешние, и внутренние), действующие на такую конструкцию, можно разделить на прямосимметричные или просто симметричные, косо или обратносимметричные.

Прямосимметричной (ПС) будем считать нагрузку, если усилия, приложенные к одной части конструкции, являются зеркальным отображением усилий, приложенных к другой ее части.

Обратносимметричной (ОС) будем считать нагрузку, если усилия, приложенные к одной части конструкции, являются зеркальным отображением усилий, приложенных к другой ее части, но взятых с противоположным знаком.

При этом искомые внутренние усилия можно также подразделить на (ПС) и (ОС): осевое усилие N и изгибающие моменты М – симметричные силовые факторы, а поперечные силы Q и крутящий момент – обратосимметричные.

Рассмотрим сначала особенности прямосиммметричных стержневых систем на примере плоской рамы (рис. 1).

Рис. 1

Эта рама трижды статически неопределима. Запишем систему канонических уравнений (СКУ):

Выберем основную систему разрезом по оси симметрии. Построим грузовую эпюру и единичные эпюры моментов , (прямосимметричные) и ( обратосимметричную). Произведение симметричной эпюры на обратносимметричную равно нулю, поэтому коэффициенты канонических уравнений будут:

В результате СКУ принимает следующий вид:

Коэффициент отличен от нуля и поэтому перерезывающая сила

= 0.

Итак, в сечении по оси симметрии прямосимметричной стержневой системы обратносимметричные силовые факторы равны нулю. Вычисляя остальные коэффициенты СКУ, получаем:

Решая систему канонических уравнений, находим:

Суммарная эпюра изгибающих моментов симметрична относительно оси симметрии рамы (рис. 1).

Рассмотрим теперь обратносимметричную раму. Перемещения симметричных сечений такой системы и одноименные внутренние силовые факторы в них равны по величине и обратносимметричны по направлению. В сечении на оси симметрии симметричные силовые факторы всегда равны нулю, так как они вызывают симметричные деформации, несоответствующие характеру деформаций от заданной нагрузки.

Подтвердим изложенное на примере трижды статически неопределимой рамы (рис. 2).

Выберем основную систему разрезом рамы по оси симметрии. За счет равенства нулю нескольких коэффициентов ( , , , и , ) СКУ распадается на две группы:

Определитель системы линейных однородных уравнений отличен от нуля, значит нормальная сила и изгибающий момент в сечении по оси симметрии рамы равны нулю.

Вычисляя остальные коэффициенты получим:

Рис. 2

Решаем СКУ и находим Строим суммарную эпюру изгибающих моментов ,которая имеет обратносимметричный вид (рис. 2).

Таким образом, использование в расчетах отмеченных свойств позволяет существенно упростить решение задач.