Элементы двоичной арифметики

Рассмотрим, как выполняются арифметические действия в двоичной системе. Для этого проведем анализ таблиц сложения и умножения в двоичной системе:

0+0=0, 0*0=0, 0+1=1, 0*1=0, 1+1=10

Следует обратить внимание на аналогию в правилах выполне­ния арифметических действий в двоичной и десятичных системах счисления: если при сложении двух двоичных чисел (точнее, пред­ставленных в двоичной системе счисления) сумма цифр окажется больше единицы, то возникает перенос в старший разряд; если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то нужно сделать «заем» единицы в старшем разряде.

Анализируя примеры умножения в двоичной системе счисле­ния, необходимо обратить внимание на одну важную особенность выполнения этой операции в данной системе. Так как очередная цифра множителя может быть только 1 или 0, то промежуточное произведение равно либо множимому, либо 0. Таким образом, опе­рация умножения в двоичной системе фактически не производится: в качестве промежуточного произведения записывается либо мно­жимое, либо 0, а затем промежуточные произведения суммируются. Иначе говоря, операция умножения заменяется последовательным сложением.

Как уже известно, дополнительный код используется для вычи­тания чисел в компьютерах и позволяет эту операцию свести к сло­жению чисел. Правила выполнения вычитания с дополнительным кодом сле­дующие: чтобы вычесть число А из числа В, достаточно сложить В с дополнительным кодом числа А и отбросить перенос в соседний стар­ший разряд.

Рассмотрим пример: 10110110₍₂₎ – 01000111₍₂₎

Найдем дополнительный код числа 01000111₍₂₎ он будет равен 10111001₍₂₎

10110110₍₂₎+ 10111001₍₂₎=01101111₍₂₎

1 0 1 1 0 1 1 0

+

1 0 1 1 1 0 0 1

_____________

1 0 1 1 0 1 1 1 1

Таким образом, важнейшее преимущество двоичной арифмети­ки заключается в том, что она позволяет все арифметические действия свести к одному – сложению, а это значительно упрощает устройство ЭВМ.

Практические задания

Задание 1.В восьмеричной системе счисления дано число. Перевести его в десятичную систему счисления.

№	Число	№	Число
1	515	9	2301
2	512	10	2304
3	1024	11	601
4	2047	12	701
5	311	13	302
6	700	14	1011
7	677	15	1010
8	123	16	2009

Задание 2. Дано десятичное число. Перевести его в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.

№	Число	№	Число
1	515	9	2301
2	512	10	2304
3	1024	11	601
4	2047	12	701
5	311	13	275
6	700	14	1011
7	677	15	1010
8	123	16	2009

Задание 3. Перевести числа в двоичную систему счисления. Выполнить вычитание с использованием дополнительного кода.

№	Три числа в различных системах счисления.	№	Три числа в различных системах счисления.
1	101111(2)+87(16)-53(10)=	9	85(10)+10001(2)-27(8)=
2	1100100(2)-57(8)+3А(16)=	10	60(8)+10000111(2)-83(10)=
3	46(8)+7В(16)-1000111(2)=	11	1100010(2)-66(8)+76(16)=
4	10111100(2)-162(8)+28(10)=	12	57(8)+7С(16)- 1001101(2)=
5	77(8)+73(16)-1001001(2)=	13	1011110(2)+5Е(16)-111(10)=
6	125(10)+100101(2)-42(16)=	14	224(8)-110100(2)+23(16)=
7	1101111(2)-39(10)+121(8)=	15	71(16)+101101(2)-85(10)=
8	9Е(16)-1100101(2)+54(8)=	16	1110110(2)-4F(16)+164(8)=

Задание 4. Перевести оба действительных числа в двоичную систему счисления. Точность перевода чисел до 5 знаков после запятой. Записать числа в формате с плавающей запятой в нормализованной форме и выполнить сложение чисел.

№	Числа в десятичной системе счисления	№	Числа в десятичной системе счисления
1	12,4 + 6,15 =	9	5,3 +7,15 =
2	4,6 + 3,8 =	10	6,3 + 7,18 =
3	7,3 +9,14 =	11	11,6 + 9,5 =
4	14,5 +7,3 =	12	7,14 +2,6 =
5	4,6 +7,8 =	13	5,13 + 13,5 =
6	11,1 +4,6 =	14	8,4 +7,14 =
7	13,11 +7,5 =	15	11,6 + 15,3 =
8	3,6 +8,12 =	16	6,16 + 9,6 =

Контрольные вопросы

1. Что такое двоичные числа?

2. Какие системы счисления вы знаете?

3. Чем отличаются прямой, обратный и дополнительный коды числа?

4. Как производится вычитание двоичных чисел?

5. Как хранятся в компьютере числа с плавающей точкой?

Литература

8