36__Математическое моделирование

Математическое моделирование – это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. В простейших случаях для этой цели используются известные аналогии между механическими, электрическими, тепловыми и другими явлениями. Примером такой аналогии могут служить гармонические колебания маятника. При изучении любого процесса методом математического моделирования необходимо, в первую очередь, построить его математическое описание или математическую модель. Математическая модель позволяет для данного процесса-оригинала подобрать на основании известных аналогий удобные физические процессы-модели, а также установить соотношение подобия, связывающее их параметры, без которых трудно использовать результаты моделирования для изучения процесса-оригинала.

Математические модели как один из методов моделирования является наиболее мощным инструментом исследования сложных систем различной природы. Опираясь на достижения современной математики, он обеспечивает решение многих практических задач. Доставляя исследователю теоретически подтвержденные и обоснованные решения, обладая мощнейшим аппаратом решения задач, математическое моделирование, вместе с тем, имеет и определенные недостатки. Связаны они ни сколько с объективными причинами, а скорее с постоянно продолжающимся процессом постановки новых, все более сложных задач, что, в свою очередь, заставляет непрерывно развиваться и как таковую математику. И, конечно, сама матема­тика, находясь в непрерывном развитии, не только предлагает практикам все новые и новые методики и методы исследования, но и открывает возможности изучения все более и более сложных объектов.

С точки зрения моделирования систем, математическое моделирование, к сожалению, не позволяет пока исследовать сложные, в основном, организационные системы. Связано это с тем, что названные системы настолько разнообразны и разнородны по возможностям математического описания их элементов, что возникает задача объединения различных математических аппаратов. В настоящее время данная задача решается посредством имитационного моделирования. А это численный эксперимент, дающий частные результаты.

Под математическим моделированием понимают способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель (ММ), как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное, комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: 1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; 2) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; 3) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (напр., оценить устойчивость решения).

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационного моделирования перед аналитическим является возможность решения более сложных задач.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на состовляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Задачи математического моделирования.

1) Задача детерминированного управления

? – устройство управления посылает объекту U(t)

U(t) – управляющий сигнал

X(t) – выход объекта

M – измеритель

Z(t) – измеренный выход

Дано:

1) динамическое соотношение, описывающее объект (связь входа с выходом), т.е. задана некоторая функция, связывающая X(t) и U(t). Известно как работает объект.

2) динамическое соотношение, описывающее измеритель (Z(t), X(t)).

Найти: такое управление U(t), чтобы выход объекта или измерительный выход стремились к желаемому.

X(t) ® X*

Z(t) ® Z*

Должен устанавливаться критерий близости - критерий оценки достижения желаемых параметров (среднеквадратичный критерий).

Существует два класса решения задачи детерминированного управления:

1. аналитические методы (общий подход)

2. численные методы (частный подход)

Аналитический метод основывается на уже существующей методике решения задачи (например, нахождение экстремума функции).

Пример:

пусть объект характеризуется , а измеритель .

Найти U при Z*=1.

Критерий: min{ }

Берём производную и приравниваем к нулю:

Далее находим вторую производную и определяем, где минимум функции.

Численные методы применяют, когда аналитические методы не работают(не решаемо дифференциальными уравнениями).

Принцип численного метода:

Заданы начальные условия X₀. (с чего начать?)

Известен порядок изменения начальных условий с некоторым шагом h. (как действовать?) – делаем шаг, делим шаг.

Известны правила остановки. (когда остановиться?)

Например, метод половинного деления.

Задача оценки

w(t), n(t) – помехи, действующие на объект и измеритель.

Дано:

Статистическое описание шумов

Динамическое соотношение w(t) и X(t), описывающее объект

Динамическое соотношение X(t), n(t) и Z(t), описывающее измеритель

Зафиксированные измерения Z до некоторого времени T

Z(t), t £ T

(??)Оценить выходной сигнал объекта X некоторым наилучшим образом X* (t/T).

Найти: выходной сигнал x(t), очищенный от помех.

Задача оценки делится на 3 подзадачи.

1. Фильтрация - найти состояние сигнала в момент времени T.

2. Экстраполяция - по зафиксированным измерениям найти состояние объекта в будущие моменты времени.

3. Интерполяция – восстанавливаем значение сигнала в предыдущие моменты времени.

Критерий: средняя квадратичная ошибка – квадрат ошибки между текущим значением и желаемым должен быть минимальным.

Применяется метод Колмогорова (метод линейной экстраполяции) – предполагается, что имеется случайный процесс, являющийся стационарным в широком смысле с математическим ожиданием M[X]=0 и имеется некоторая автокорреляционная функция R(t), отличная от 0. Прогнозное значение вычисляется как полином.

- линейная экстраполяция

j- ошибка;

t-j – предыдущие значения;

m – длина предыстории; чем больше m, тем больше точность.

Необходимо найти a_j.

Коэффициенты a_j определяются из решения системы линейных уравнений

(???)

r – коэффициент корреляции.

Ошибка прогнозирования . Если коэффициенты находятся так, то ошибка минимальна.

Задача экстраполяции – в будущем, задача интерполяции отличается от нее на знак:

(???)

Задача фильтрации. Фильтр Винера – некая математическая схема, которая обеспечивает нахождение параметров фильтра, отделяющего шум от полезного сигнала. Фильтр Винера – физически реализуемая схема:

Дано: 1) задана совокупность сигналов и шумов как стационарно случайный процесс с известными характеристиками. 2) критерий оценки расхождения выхода фильтра и модели. 3) желаемый выход.

Уравнение Винера: [интеграл (w₀()Ф_zz(t-))d]-Ф_zy(t)=0

Задача прогнозирования. Метод прогнозирования Колмогорова предполагает, что имеется случайный стационарный в широком смысле процесс с математическим ожиданием=0 и корреляционной функцией, отличной от нуля. Прогнозное значение: x(t/T)=aj x(t  j) (сумма от j=1 до m). «+» - задача интерполяции, «-» - задача экстраполяции. Здесь x(t-j) – предыдущее значение процесса, aj – коэффициенты (надо найти путем решения системы линейных уравнений), t1,t2,… – предыстория, m – длина предыстории.

Задача идентификации.

Дано: 1) статистическое описание шумов w(t)и v(t). 2) динамическое соотношение между z(t) и x(t),v(t). 3) зафиксированные входной и выходной сигналы z(t/T) и u(t/T).

Найти: наилучшее в некотором смысле динамическое соотношение, описывающее объект – x(t) и u(t),w(t).

Найти: наилучшее в некотором смысле динамическое соотношение, описывающее соотношение помех w(t),v(t).

Решения:

1. Аналитическое – теория идентификации использует Гаусовские идентификационные помехи.

2. Регрессионный анализ (в основном)

Линия =

По виду облака “точек” можно судить о том, какая это зависимость.

Проводим так, чтобы сумма была минимальной.

Критерий: - система нормальных уравнений.

При нелинейной регрессии проводят линеаризацию(сведение функции с линейному виду), либо решается как задача регрессионного анализа, если нелинейная функция является полиномом.

Задача адаптивного управления

Дано:

Статистическое описание шумов w(t),v(t);

Динамическое соотношение, описывающее измеритель z(t) и x(t), v(t);

Измерения z(t/T) и u(t/T).

Найти: такое управление u(t) и такое соотношение, описывающее объект x(t) и u(t), чтобы выход объекта или измеренный выход стремились к желаемому.

В задаче существует 3 понятия: обучение, самообучение, адаптация (самообучение с изменением структуры).

Обучение – имеется ученик и учитель, учитель – контролирующая система.

Самообучение – и ученик, и учитель в одном лице

Адаптация – самообучение с изменением структуры (таких систем практически нет – они теоретически сложны).

Пусть наш объект управляется n параметрами.

[C₁, С₂,…,С_n] – нужно построить систему, чтобы удовлетворяла всем параметрам.

Г – матрица регулировочных (весовых) коэффициентов

- поправка

Требуется определить матрицу коэффициентов.

Физический смысл g_n – корреляционные моменты, которые оценивают вероятностную связь между параметрами. Эти параметры независимы друг от друга. Отсюда следует, что комплекс разрушается.

Задача стохастического управления.

Дано: 1) статистическое описание шумов w(t),v(t). 2) динамическое соотношение между z(t) и x(t),v(t). 3) динамическое соотношение между x(t) и u(t),w(t).

Найти: такое управление u(t), чтобы выход объекта или измерительный выход стремились к желаемому.

Адаптация – это самообучение с возможностью изменения структуры самой системы – набора элементов и взаимосвязей между ними. В качестве примера приведем ящерицу, которая теряет свой хвост. Эта живая система после самооценки ситуации (самообучения) подключает ранее законсервированные элементы и связи в результате чего регенерируется утраченный орган и затем, по завершении этого действия, элементы и связи регенерации отключаются (адаптация).