26.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания

26.2.1. Основные формулы ортодромии

Рис. 26.4. Сферический треугольник ортодромии

Треугольник АР_NВ – сферический треугольник, элементами которого являются (рис. 26.4):

• Стороны треугольника АР_NВ:

  • АР_N → (90° – φ_A);

  • Р_NВ → (90° – φ_B);

  • АВ → D (длина ортодромии)

• Углы треугольника АР_NВ:

  • Р_NАВ → К_H (начальный курс плавания по ДБК);

  • Р_NВА → 180° – К_K (конечный курс плавания по ДБК);

  • АР_NВ → Δλ = λ_B – λ_A (разность долгот между конечной В и начальной А точками ДБК).

Из сферической тригонометрии известно «…если в сферическом треугольнике известны три элемента то, по формулам сферической тригонометрии, можно определить и все остальные…».

Применяя формулу «косинуса стороны» («…косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…») можно определить длину ортодромии (D) между любыми двумя ее точками (т. А и т. В), координаты которых известны, то есть:

cosD = cos(90° − φ_A) · cos(90° − φ_B) + sin(90° − φ_A) · sin(90° − φ_B) · cos(λ_B – λ_A)

или, после преобразования:

cosD = sinφA · sinφB + cosφA · cosφB · cos(λB – λA)

(26.3)

Применяя формулу «котангенса угла» («…произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних частей…») можно определить значение начального К_H и конечного К_K курсов плавания по ортодромии.

ctgКH = cosφA · tgφB · cosec(λB – λA) − sinφA · ctg(λB – λA)

(26.4)

ctgКK = −tgφA · cosφB · cosec(λB – λA) + sinφB · ctg(λB – λA)

(26.5)

Аналогично определяем остальные величины:

(26.6)

или

(26.7)

(26.8)

tgφi = cosθi · tgφV

(26.9)

где θ = λ_V − λ_i.

(26.10)

λV = λ0 ± 90°

(26.11)

26.2.2. Способы задания ортодромии

Ортодромия может быть задана одним из 4-х способов:

1. → по координатам любых двух ее точек (т. А: φ_A λ_A и т. В: φ_B λ_B) при условии, что эти точки не лежат на противоположных концах земного диаметра;

2. → по координатам любой точки ортодромии (φ_A λ_A, φ_i λ_i, φ_B λ_B…) и направлению (курсу) ортодромии в этой точке (К_H или К_i или К_K);

3. → по долготе (λ₀) точки пересечения ортодромии с экватором и направлению ортодромии в этой точке (К₀);

4. → по координатам точки V – вертекса (φ_V λ_V) ортодромия в этой точке касательна к параллели).

Плавание по ортодромии обычно осуществляется при больших (тысячи миль) океанских переходах и при том условии, что такое плавание будет экономически выгоднее, чем обычное плавание постоянным курсом, то есть по локсодромии.

Плавание по ортодромии считается выгодным если:

(26.12)

где	S – длина локсодромии (мили);
	D – длина ортодромии (мили).

То есть для принятия решения «как плыть» необходимо первоначально рассчитать S и D и сравнить их.