Тема 4 обобщенные критерии

При принятии управленческих решений проблемы сравнитель­ной оценки многомерных альтернативных вариантов играют осо­бую роль.

ПРИМЕР 6.3. Пусть рассматриваются инвестиционные про­екты в области машиностроения.

В качестве обобщенного критерия, характеризующего сравнительную предпочтительность инвестиционных проектов, представленных на инвестиционный конкурс, определена сравнительная эффективность проекта.

В качестве частных критериев первого иерархического уровня выбраны конкурентоспособность, ресурсосбережения, экологическая безопасность и социальная значимость.

В этом случае:

К1 — конкурентоспособность,

К2 — ресурсосбережения,

Kg — экологическая безопасность,

l<4 — социальная значимость.

Пусть инвестиционный проект Л характеризуется вектором оценок

а инвестиционный проект В — вектором оценок

Инвестиционный проект А более предпочтителен, чем ин­вестиционный проект В, поскольку вектор оценок Хд по всем компонентам (частным критериям) предпочтительнее, чем ве­ктор оценок xq.

Приведем общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы, характеризую­щихся соответствующими векторами оценок.

Альтернативный вариант (объект) аi недоминируем, если не существует альтернативного варианта аj превосходящего (не уступающего) аj по всем компонентам (частным критериям).

Естественно, что наиболее предпочтительный среди срав­ниваемых альтернативных вариантов а1 ..., а n относится к числу недоминируемых.

Недоминируемые альтернативные варианты, как уже гово­рилось выше, образуют множество Парето.

При выборе наиболее предпочтительных альтернативных ва­риантов, как правило, недостаточно ограничиться лишь указа­нием множества Парето, которому может принадлежать слишком много объектов.

Например, частные критерии К1 ..., Кд могут принимать лишь два значения: 1, если альтернативный вариант обладает соответствующим свойством, и 0 — в противном случае.

Тогда число альтернативных вариантов, половина оценок которых по частным критериям равна 1, может уже при s = 20 стать больше 100 тыс.

Очевидно, что ни один из этого множества альтернативных вариантов не доминируем другими, ему принадлежащими, и все они могут одновременно принадлежать множеству Парето.

В этом случае число альтернативных вариантов, признан­ных наилучшими, слишком велико.

Поэтому часто используются другие, более тонкие методы сравнительной оценки альтернативных вариантов. Рассмотрим

некоторые из них.

Пусть частные критерии К1 .... К5, по которым оценивают­ся объекты принятия управленческих решений, таковы, что К1 существенно важнее всех остальных частных критериев, К2 существенно важнее всех остальных частных критериев, за ис­ключением К1, и т. д.

В этом случае если альтернативный вариант ai предпочти­тельнее альтернативного варианта аj по частному критерию К1, то независимо от оценок аi, aj. по остальным частным крите­риям ai более предпочтительна, чем aj.

Если же оценки альтернативных вариантов совпадают по первым г частным критериям и различаются по (r + 1)-му ча­стному критерию, то более предпочтительным в этом случае является альтернативный вариант по (r + 1)-му частному кри­терию.

Такое упорядочение альтернативных вариантов — объектов принятия управленческих решений по предпочтениям называ­ется лексикографическим.

Легко заметить, что при лексикографическом упорядоче­нии все альтернативные варианты оказываются строго про-ранжированными. Одинаково предпочтительными могут ока­заться лишь альтернативные варианты с совпадающими векто­рами оценок.

В случае лексикографического упорядочения задача выбора за­данного числа наиболее предпочтительных для эксперта или ЛПР альтернативных вариантов оказывается легко решаемой. Для этого достаточно выбрать нужное число первых альтернатив­ных вариантов — объектов принятия управленческого реше­ния в их лексикографическом упорядочении.

Однако далеко не всегда частные критерии оценки альтер­натив К1 ..., Кs настолько неравноценны, настолько несоиз­меримы по важности, что одни из них настолько более важны, чем другие.

Более типична ситуация, когда относительная важность критериев, по которым осуществляется сравнительная оценка объектов принятия управленческого решения, является сопо­ставимой.

В этом случае прибегают, если возможно, к различным ме­тодам свертки — построению обобщенного критерия, позво­ляющего дать единую численную оценку каждому из сравни­ваемых альтернативных вариантов.

Различные подходы к формированию обобщенного крите­рия будут обсуждены ниже.

Одним из наиболее важных предположений о характере частных критериев при установлении факта их сопоставимо­сти является предположение об их независимости.

Дли случая s = 2 (двух критериев) свойство независимости критериев может быть сформулировано следующим образом:

где хi1и хj1 — значения оценок альтернативных вариантов и а.i

aj по частному критерию К1, а Хi2 и Xj2 -- значения оценок альтернативных вариантов а i и а j. по К2.

Соотношение (6.1) показывает, что предпочтения альтерна­тив сохраняются при любых одинаковых значениях оценок по частному критерию К2 и определяются оценками по К1 а со­отношение (6.2) показывает, что предпочтения альтернатив­ных вариантов сохраняются при любых одинаковых значени­ях по частному критерию К1 и определяются оценками по К2.

Однако сформулированные условия независимости крите­риев оказываются необходимыми, но недостаточными для су­ществования обобщенных критериев.

Сегодня известны необходимые и достаточные условия су­ществования функций полезности иi(х), ..., иs(х) таких, что альтернативный вариант аi предпочтительнее альтернативного ваоианта аj, тогда и только тогда, когда

а альтернативные варианты а/ и а, равноценны тогда и толь­ко тогда, когда

Исследованию функций ценности (полезности)

освящена обширная литература (см., например, [3, 4]).

Поэтому не будем останавливаться на этом подробнее. Нас интересуют прежде всего конкретные методы формирования обобщенных критериев, используемые при анализе и обработ­ке экспертной информации.

Линейные обобщенные критерии строятся в предложениях аддитивности частных критериев и сопоставимости их по от­носительной важности. Случай, когда одни из частных крите­риев существенно важнее других, приводит к лексикографиче­скому упорядочению критериев, рассмотренному выше.

Заметим, что сравнивать по предпочтительности целесооб­разно лишь однородные критерии, измеряющие интенсивность свойств одной и той же природы.

В случае когда критерии таковыми не являются, необходи­мо их преобразовать в однородные.

Для этого, если измерения по частным критериям произве­дены в шкалах отношений, оценки по ним преобразуются по формуле:

где xv — максимально возможная оценка по v-му критерию.

Если измерения по частным критериям произведены в шкалах интервалов [3, 4], оценки преобразуются по формуле

где хv — минимальная оценка по v-му критерию [З].

Непротиворечивость частных критериев позволяет получать Непротиворечивую информацию о сравнительной предпочти­тельности альтернативных вариантов при экспертном оцени­вании.

Измерение частных критериев в шкале порядка не позволя­ет корректно вводить операции сложения оценок по различ­ным частным критериям, например по Кp и Кq , взятым соот­ветственно с коэффициентами сp и сq .

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленче­ских решений в практике управления — метод обобщенных линейных критериев.

В этом методе предполагается определение весовых коэф­фициентов сl, .... cs частных критериев К1 ..., Кs, содержащих большую информацию о сравнительной важности критериев, чем их измерение в шкале порядка [3, 4].

Измеримость оценок важности частных критериев в шкале отношений делает корректной процедуру сравнительной оценки многокритериально оцениваемых альтернативных вариан­тов с помощью обобщенного линейного критерия

Этот обобщенный линейный критерий позволяет установить отношение линейного порядка (предпочтительности) на мно­жестве оцениваемых с помощью нескольких критериев альтер­нативных вариантов, что и является одним из способов реше­ния задачи выбора наиболее предпочтительного альтернативно­го варианта наиболее эффективного управленческого решения.

Наиболее предпочтительным признается альтернативный вариант а^ для которого справедливо следующее соотношение:

Если необходимо выбрать k наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, то ими будут k альтернативных ва­риантов, получивших наибольшие оценки по критерию (6.6).

При назначении весовых коэффициентов Су, характеризую­щих относительную важность частных критериев К1, ..., Кs, необходимо производить сравнение значений критериев, соот­ветствующих их одинаковым уровням.

В качестве таких уровней можно выбрать уровень макси­мальных или минимальных значений частных критериев, как, например, это делается при сведении частных критериев к од­нородным.

Для определенности будем сравнивать максимальные уров­ни и в дальнейшем; говоря о сравнительном влиянии частных критериев на общую оценку альтернативных вариантов, будем иметь в виду прежде всего максимальные уровни, предполагая, что сравнительные влияния частных критериев на других, но обязательно одинаковых уровнях аналогичны.

Пусть улучшение значения оценки альтернативного вари­анта по критерию Кs на Л единиц эквивалентно ухудшению значения оценки альтернативного варианта по критерию К на ЛЛ единиц и не зависит от конкретных значений оценок аль­тернативных вариантов по критериям Кp, ..., Кq, и в частно­сти от конкретных значений оценок по критериям Кp и Кq .

Коэффициент Л называют глобальным коэффициентом за­мещения.

Обобщенный линейный критерий (6.6) существует тогда и только тогда, когда значения частных критериев максимально­го уровня измеримы в шкале отношений (т. е. в шкале, анало­гичной той, в которой измеряются вес, длина и т. д.).

Отсюда следует [4], что для получения коэффициентов важ­ности частных критериев К,, .... Ку при практическом исполь­зовании оценочных систем можно воспользоваться любым ме­тодом, позволяющим получать измерения и оценки альтерна­тивных вариантов в шкале отношений.

Внутри каждого частного критерия может допускаться рав­номерная зависимость значений частных критериев от оценок экспертов. Если характер оценок таков, что они нелинейно влияют на значения частного критерия, то для получения ре­зультирующей оценки необходимо в обобщенном критерии представить указанную зависимость.

С учетом неравномерных и, вообще говоря, нелинейных за­висимостей значений частных критериев, по которым осуще­ствляется оценка объектов принятия управленческих реше­ний, от оценок экспертов Кv (аi) обобщенный аддитивный критерий запишется в виде

где ky (а) могут быть и нелинейными функциями.

Если обобщенный критерий построить не удается, необхо­димо пользоваться другими методами сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов.