1.3.3. Краткие сведения из динамики

Второй закон Ньютона

Ускорение w, сообщаемое материальной точке, пропорционально действующей на точку силе F, направлено по этой силе и обратно пропорционально массе точки m

w = F/m или F = m·w.

Д ифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

или в прямоугольной декартовой системе координат при движении точки по прямой линии

Момент инерции.

Момент инерции массы m, находящейся на расстоянии ρ от оси, равен

J = m·ρ². [кг·м²]

Момент инерции диска относительно оси равен

J = (m·R²)/2,

где m – масса диска, R – радиус диска.

Момент инерции стержня:

• относительно центральной оси симметрии стержня

J_с = (m·l²)/12;

• относительно конца стержня

J_а = (m·l²)/3,

где m – масса стержня, l – длина стержня.

Момент инерции сплошного круглого цилиндра относительно центральной оси

J_zц = (m·R²)/2,

где m – масса цилиндра, R – радиус цилиндра.

Момент инерции полого круглого цилиндра относительно центральной оси

где R – наружный радиус цилиндра; R₀ – внутренний радиус цилиндра.

Д ифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

где φ – угол поворота [рад]; J_z –момент инерции относительно оси вращения; ΣM_z – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения.

Работа силы.

Элементарная работа dA силы F на элементарном перемещении ds определяется как

dA = F_τ ds,

где F_τ – проекция силы F на направление элементарного перемещения.

П олная работа силы на перемещении ds от точки 1 до точки 2

Если F_τ является величиной постоянной, то работа сил равна

A = F_τ s,

где s – путь, пройденный точкой.

Работа силы тяжести (G = m·g)

A = m·g·h,

где h – вертикальное перемещение центра тяжести тела.

Работа линейной силы упругости.

Линейная сила упругости растягиваемой пружины по закону Гука равна

F_упр = - c·λ,

где с – коэффициент жесткости пружины; λ – удлинение (сжатие) пружины.

Работа линейной силы упругости равна

A = F_упр·λ, или A = - (c·λ²)/2.

Размерность работы дж, [1 дж = 1 Н·м = (кг·м²)/с²].

Мощность силы.

Мощность силы по определению оценивают той работой, которую она может совершить за единицу времени

Или мощность можно представить как скалярное произведение силы на скорость точки

N=F·v.

Р азмерность мощности определяется равенством

Мощность, равная 1 дж в с, называется ваттом (Вт)

1 Вт = 1 дж/с.

Вследствие малости этой величины, в инженерной практике часто используют кВт (1 кВт = 1000 Вт).

В двигателестроение еще используют внесистемную единицу, называемую лошадиной силой (л.с.)

1 л.с. = 75 кГ·м/с.

Соотношение между лошадиной силой и ваттом определяется исходя из того, что 1 кГ·м = 9,81 дж. Следовательно,

1 л.с. = 75 кГ·м/с = 75·9,81 дж/с = 736 Вт = 0,736 кВт,

или 1 кВт = 1,36 л.с.

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия Т точки по определению равна

где m – масса точки; v – скорость точки.

Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной. Размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы [(кг·м²)/с = дж].

К инетическая энергия при поступательном движении твердого тела

К инетическая энергия при вращении тела вокруг неподвижной оси

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения;

ω – угловая скорость тела.