Ответы и указания
1.26.
.
1.27. 4. 1.28.
.
1.29.
.
1.30. . 1.31.
.
1.32.
больше;
больше;
больше.
1.33.
1.34. Искомые неравенства следуют из
неравенств
,
и оценок интеграла. Неравенства получаются
строгие, так как если для неотрицательной
непрерывной на отрезке [a,
b], a
< b, выполняется
то
для всех
1.35. а) 0;
б)
;
в)
.
1.36. а) 2/3; б) 7/3. 1.37. 2(1 – ln2).
1.38.
1.39.
1.40.
1.41. 3/2.
1.42.
.
1.43.
.
1.44. 0. 1.45. 0. 1.46.
.
1.47.
.
1.48.
.
1.49.
.
1.50. 2.
1.51. Учитывая четность функции (см. задачу 1.19а)), запишем интеграл в виде
после чего
проинтегрируем по частям, полагая
.
Получим
Отсюда легко получается требуемое равенство.
1.52. Положим
.
Тогда, применяя формулу интегрирования
по частям, получим
Применяя этот
прием r раз (
),
получаем
Если n = 2k – четное число, то при r = k имеем
Из результатов задачи 1.23 следует, что при четном m = 2l
Здесь и далее
обозначено (2k)!! =
При m = 2l
+ 1, n = 2k
получаем
Если n = 2k + 1 – нечетное число, то (см. задачу 1.23)
.
Отсюда при нечетном m = 2l + 1 получаем
2.24. Сходится. 2.25. Сходится.
Сравните с интегралом от функции
2.26. Сходится. Рассмотрите функцию
и примените предельный признак сравнения.
2.27. Расходится. Примените предельный признак сравнения.
2.28. Сходится. Рассмотрите функцию
и примените предельный признак сравнения.
2.29. Сходится. Положите
и примените признак Абеля.
2.30. Сходится. Примените признак Дирихле.
2.31.
Сходится. Сделайте замену переменной
и используйте задачу 2.20.
3.11.
3.12. Расходится. 3.13. Расходится.
3.14. ¼.
3.15. Расходится. Особая точка x = 1 находится внутри интервала (0, 2), поэтому следует представить наш интеграл в виде суммы трех интегралов, в каждом – только одна особая точка.
3.16. Сходится в собственном смысле.
Если положить f(0) = 0,
то подынтегральная функция будет
непрерывной на отрезке
3.17. Сходится. Сравните подынтегральную
функцию с функцией
3.18. Сходится. 3.19. Сходится.
3.20. Сходится. Сделайте замену переменной ln x = – t и примените признак Дирихле.
4.3. 0,72537. Погрешность не превышает
4.4. n = 3. Интеграл приближенно равен 0,6256.
1/6.
5
.61.
S =
2(ln 2 – 1/e).
5.62.
5.63.
5.64.
3/2.
5.65. 2.
5. 66. 1. 5.67. 6
.
5.68. S =
.
5.69 S =
.
5.70 S =
5.71 S
=
5.72 S =
5.73.
5.74.
5.75.
5.76.
5.77.
5.78.
2. 5.79.
5.80.
5.81.
13.
5.83.
5.84.
5.85.
5.86.
5.87.
5.88.
5.89.
5.90. a)
б)
5
.91.
a)
б)
5.92. а)
б)
5.93.
5.94.
5.95.
5.96.
5.97.
5.98.
5.99.
5.100.
6.6.
м.
6.7. a
= 64 800 км/ч2,
S = 3 км.
6
.8.
6.9. A = 0,08 дж.
6.10.
6.11.
6.12.
