- •Глава 2 определенные интегралы
- •§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Рекуррентные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Основные формулы для несобственных интегралов
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Основные формулы
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов
- •Задачи для самостоятельного решения
Глава 2 определенные интегралы
§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление
1. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Интегральной суммой называется
,
где a < x0 < x1 <… < xn = b, ∆xi = xi–1 – xi, ξi [xi–1, xi], i = 1, 2, …, n.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел интегральных сумм
,
при условии, что предел не зависит от выбора точек ξi[xi-1, xi] и способов разбиения отрезка на части.
Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Известно, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Интегрируемыми будут также ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число разрывов первого рода.
Перечислим основные свойства определенных интегралов.
1. .
2. По определению считают, что
, , a < b.
3. Линейные свойства определенного интеграла
,
где C1 и C2 – постоянные.
4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она будет интегрируемой на любом отрезке [, ] [a, b].
5. Аддитивность определенного интеграла. Пусть a, b, c – некоторые числа. A = min{a, b, c}, B = max{a, b, c} и пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [A,B]. Тогда выполняется равенство
.
6. Если f(x) ≤ g(x) на [a, b], то
.
В частности, если f(x) 0 на [a, b], то
.
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется такая точка x0, что
.
Определенный интеграл при f(x) 0 на отрезке [a, b] численно равен площади криволинейной трапеции
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона–Лейбница. Если F(x) – первообразная функции f(x), то определенный интеграл от f(x)по отрезку [a, b] можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница
.
Формула Ньютона–Лейбница позволяет привлекать для вычисления определенных интегралов все приемы и методы, используемые при вычислении неопределенных интегралов. Формула Ньютона–Лейбница есть следствие следующего утверждения.
Если F(x) есть первообразная функции f(x) на отрезке [a, b], то в каждой точке x (a, b) непрерывности функции f(x) выполняется равенство
.
Из этого утверждения и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что
.
Аналогичные утверждения справедливы также и для переменного нижнего предела интеграла: в каждой точке x непрерывности функции f(x) выполняется равенство
.
Если функция (x) дифференцируема на интервале [, ] и такая, что t = (x) (a, b) при x (, ), то выполняется равенство
.
Из утверждений о дифференцировании интеграла с переменными пределами и из свойства аддитивности определенного интеграла следует, что
.
Рассмотрим примеры.
Вычислить с помощью формулы Ньютона–Лейбница интегралы.
1.1. .
Решение. Используя линейные свойства интеграла и табличные интегралы, находим первообразную и вычисляем интеграл
.
1.2. .
Решение. Находим первообразную и применяем формулу Ньютона–Лейбница.
.
1.3. .
Решение. Ищем первообразную для функции и применяем формулу Ньютона–Лейбница
= = = ln2 – ln1 = ln2.
1.4. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
а) или ;
б) или .
Решение.
а) Поскольку при 0 < x < 1 выполняется 0< x2 < x, то в силу свойств показательной функции выполняется . Тогда из свойства 6 определенных интегралов следует
≤ .
б) При 1 < x < 2 выполняется x ≤ x2. Тогда и, следовательно,
≤ .
1.5. Оценить интеграл
.
Решение. Так как при 0 ≤ x ≤ 1 выполняется
≤ ≤ 1,
то из неравенств
≤ ≤ x9
и свойств интеграла следует
≤ ≤ ,
откуда, учитывая, что – первообразная для x9, находим
≤ ≤ .
1.6. Найти производную по x от следующих функций:
а) б)
в) , x > 1; г) , x (0, ).
Решение.
а) ; б) ;
в) = = ;
г)
.
Часто, если это не приводит к недоразумениям, пишут , а не . Мы, следуя традиции, будем писать так же.
1.7. Найти пределы:
а) ; б) .
Решение.
а) Так как , то имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:
= = cos 0 = 1.
б) В этом примере также применим правило Лопиталя:
= = = = 1.
1.8. Найти многочлен P(x) наименьшей степени, имеющий минимум, равный –25 при x = 2, и максимум, равный 2 при x = –1.
Решение. Многочлен есть дифференцируемая функция на всей числовой оси. Поэтому точки экстремума могут быть только среди корней производной P(x), которая также есть многочлен. Поскольку нам известно, что P(–1) = 0 и P(2) = 0, то P(x) есть многочлен степени не меньше двух. Значит, P(x) следует искать среди многочленов второй степени. Тогда P(x) = a(x + 1)(x – 2) = ax2– ax – 2a. Отсюда находим
P(x) = = .
Так как по условию P(–1) = 2, P(2) = –25, мы получаем систему уравнений для нахождения a и C:
P(–1) = 2 = ,
P(2) = –25 =
или
2 = ,
–25 = .
Решая систему, находим a = 6, C = –5. Следовательно, P(x) = 2x3 – 3x2 – – 12x – 5.