ЗМІСТ
ВСТУП................................................................................... |
4 |
Вихідні дані для виконання розрахункових робіт ….. |
4 |
|
|
Розрахункова робота № 1 Аналітичне групування статистичних даних……….... |
5 |
|
|
Розрахункова робота № 2 Аналіз рядів розподілу ..... |
15 |
|
|
Розрахункова робота № 3 Дисперсійний аналіз... ….. |
29 |
|
|
Розрахункова робота № 4 Кореляційно-регресійний аналіз…….………………………………………………… |
34 |
|
|
Розрахункова робота № 5 Вимірювання сезонних коливань...………………………………………………… |
43 |
|
|
Перелік рекомендованих джерел ……............................ |
62 |
ВСТУП
Розрахункові домашні роботи є самостійними роботами студентів, які виконуються з метою закріплення теоретичного матеріалу та використовуються, як поточні форми контролю з курсу «Статистика».
ВИХІДНІ ДАНІ
ДЛЯ ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВИХ РОБІТ
Для виконання розрахункових робіт вихідні дані беруть з Методичних вказівок до виконання розрахункових робіт з курсу «Статистика», Івано-Франківськ, 2010 варіант вказує викладач, який веде практичні заняття з курсу «Статистика».
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА № 1
АНАЛІТИЧНЕ ГРУПУВАННЯ СТАТИСТИЧНИХ ДАНИХ
Завдання: Скласти комбінаційний розподіл одиниць статистичної сукупності за факторною та результативною ознаками. Результат групування викласти у формі таблиці комбінаційного розподілу. Вказати місце відображення у таблиці умовних та безумовних розподілів. Провести аналітичне групування статистичних даних. Зробити висновок про наявність та напрямок зв’язку між ознаками.
№ покупця |
Ціна од. продукції, грн. |
Попит, тис.т |
1 |
100,3 |
58 |
2 |
102,7 |
36 |
3 |
103,5 |
25 |
4 |
100,0 |
60 |
5 |
102,5 |
35 |
6 |
103,8 |
22 |
7 |
101,0 |
50 |
8 |
104,0 |
20 |
9 |
101,5 |
45 |
10 |
103,0 |
30 |
11 |
102,2 |
38 |
12 |
101,8 |
44 |
13 |
102,0 |
40 |
14 |
104,5 |
15 |
15 |
102,1 |
39 |
16 |
105,0 |
10 |
Таблиця 1.1 – Попит на продукцію індивідуальних споживачів протягом місяця
Припускаємо, що між величиною ціни одиниці продукції і попитом на продукцію існує взаємозв’язок. Ціна одиниці продукції – незалежна змінна (факторна ознака), а попит – залежна змінна (результативна ознака).
Кількість груп визначаємо за формулою Стерджеса:
n = 1 + 3,321 lg N = 1 + 3,321 lg 16 ≈ 5, отже n = 5
Визначаємо величину інтервалу групування для незалежної та залежної змінних:
Незалежна змінна
iX
=
,
де Х min
= 100; Xmax
= 105; n = 5.
iX
=
= 1
За незалежною змінною будуть утворені такі групи:
100 – 101
101 – 102
102 – 103
103 – 104
104 – 105
Залежна змінна
iY
=
,
де Ymin
= 10; Ymax
= 60; n = 5.
iY
=
= 10
За залежною змінною будуть утворені наступні групи:
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
Групуємо вихідні дані за ціною одиниці продукції, визначаємо кількості покупців, які увійшли до кожної із груп, середню ціну та середній обсяг попиту. Результати заносимо в робочі таблиці 1.2 – 1.6.
Таблиця 1.2 – Група покупців за ціною 100 – 101
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
4 |
100,0 |
60 |
1 |
100,3 |
58 |
7 |
101,0 |
50 |
Разом |
301,3 |
168 |
n1
= 3;
1
=
= 100,43;
1
=
= 56,0
Таблиця 1.3 – Група покупців за ціною 101 – 102
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
9 |
101,5 |
45 |
12 |
101,8 |
44 |
13 |
102,0 |
40 |
Разом |
305,3 |
129 |
n2
= 3;
2
=
=
101,77;
2
=
= 43,0
Таблиця 1.4 – Група покупців за ціною 102 – 103
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
15 |
102,1 |
39 |
11 |
102,2 |
38 |
5 |
102,5 |
35 |
2 |
102,7 |
36 |
10 |
103,0 |
30 |
Разом |
512,5 |
178 |
n3
= 5;
3
=
= 102,5;
3
=
= 35,6
Таблиця 1.5 – Група покупців за ціною 103 – 104
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
3 |
103,5 |
25 |
6 |
103,8 |
22 |
8 |
104,0 |
20 |
Разом |
311,3 |
67 |
n4
= 3;
4
=
= 103,77;
4
=
= 22,33
Таблиця 1.6 – Група покупців за ціною 104 – 105
№ покупця |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту |
14 |
104,5 |
15 |
16 |
105,0 |
10 |
Разом |
209,5 |
25 |
n5
= 2;
5
=
= 104,75;
5
=
= 12,5
Групуємо вихідні дані за обсягом попиту, визначаємо кількість покупців, які увійшли до кожної із груп, середній обсяг попиту та середні ціни. Результати заносимо в робочі таблиці 1.7 – 1.11.
Таблиця 1.7 – Група покупців за обсягом попиту 10 – 20
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
16 |
10 |
105,0 |
14 |
15 |
104,5 |
8 |
20 |
104,0 |
Разом |
45 |
313,5 |
n1
= 3;
1
=
= 15;
1
=
= 104,5
Таблиця 1.8 – Група покупців за обсягом попиту 20 – 30
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
6 |
22 |
103,8 |
3 |
25 |
103,5 |
10 |
30 |
103,0 |
Разом |
77 |
310,3 |
n2
= 3;
2
=
= 25,7;
2
=
= 103,4
Таблиця 1.9 – Група покупців за обсягом попиту 30 – 40
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
5 |
35 |
102,5 |
2 |
36 |
102,7 |
11 |
38 |
102,2 |
15 |
39 |
102,1 |
13 |
40 |
102,0 |
Разом |
188 |
511,5 |
n3
= 5;
3
=
= 37,6;
3
=
= 102,3
Таблиця 1.10 – Група покупців за обсягом попиту 40– 50
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
12 |
44 |
101,8 |
9 |
45 |
101,5 |
7 |
50 |
101,0 |
Разом |
139 |
304,3 |
n4
= 3;
4
=
= 46,3;
4
=
= 101,4
Таблиця 1.11 – Група покупців за обсягом попиту 50– 60
№ покупця |
Обсяг попиту |
Ціна од. продукції, грн. |
1 |
58 |
100,3 |
4 |
60 |
100,0 |
Разом |
118 |
200,3 |
n5
= 2;
5
=
= 59;
5
=
= 100,2
Будуємо допоміжну таблицю 1.12, в яку заносимо номери одиниць статистичної сукупності, які мають відповідну комбінацію ціни одиниці продукції та попиту на неї. Першого покупця, який готовий за ціною 100,3 грн. придбати продукцію в обсязі 58 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 50 – 60. Другого покупця, який за ціною 102,7 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 36 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Третього покупця, який за ціною 103,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 25 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 20 – 30. Четвертого покупця, який за ціною 100,0грн. готовий придбати продукцію в обсязі 60 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 50 – 60. П’ятого покупця, який за ціною 102,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 35 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Шостого покупця, який за ціною 103,8 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 22 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 20 – 30. Сьомого покупця, який за ціною 101,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 50, тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 100 – 101 і стовпчика 40 – 50. Восьмого покупця, який за ціною 104,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 20 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 103 – 104 і стовпчика 10 – 20. Дев’ятого покупця, який за ціною 101,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 45 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 і стовпчика 40 – 50. Десятого покупця, який за ціною 103,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 30 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 та стовпчика 20 – 30. Одинадцятого покупця, який за ціною 102,2 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 38 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 і стовпчика 30 – 40. Дванадцятого покупця, який за ціною 101,8 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 44 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 стовпчика 40 – 50. Тринадцятого покупця, який за ціною 102,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 40 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 101 – 102 стовпчика 30 – 40. Чотирнадцятого покупця, який за ціною 104,5 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 15 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 104 – 105 стовпчика 10 – 20. П’ятнадцятого покупця, який за ціною 102,1 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 39 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 102 – 103 стовпчика 30 – 40. Шістнадцятого покупця, який за ціною 105,0 грн. готовий придбати продукцію в обсязі 10 тис. т розмістимо в клітинці на перетині рядка 104 – 105 та стовпчика 10 – 20.
Таблиця 1.12 – Розподіл покупців за ціною та обсягом попиту
Групи покупців за ціною |
Групи покупців за попитом |
||||
10 - 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
100 – 101 |
— |
— |
— |
7 |
1,4 |
101 – 102 |
— |
— |
13 |
9,12 |
— |
102 – 103 |
— |
10 |
2,5,11,15 |
— |
— |
103 – 104 |
8 |
3,6 |
— |
— |
— |
104 – 105 |
14,16 |
— |
— |
— |
— |
Підрахуємо частоти в кожній клітинці та підсумуємо частоти по горизонталі та вертикалі. Результати заносимо в таблицю 1.13.
Таблиця 1.13 – Розподіл покупців за ціною та обсягом попиту
Групи покупців за ціною |
Групи покупців за попитом |
Разом |
і |
||||
10 - 20 |
20 - 30 |
30 - 40 |
40 - 50 |
50 - 60 |
|||
100 – 101 |
— |
— |
— |
1 |
2 |
3 |
56,00 |
101 – 102 |
— |
— |
1 |
2 |
— |
3 |
43,00 |
102 – 103 |
— |
1 |
4 |
— |
— |
5 |
35,60 |
103 – 104 |
1 |
2 |
— |
— |
— |
3 |
22,33 |
104 - 105 |
2 |
— |
— |
— |
— |
2 |
12,50 |
Разом |
3 |
3 |
5 |
3 |
2 |
16 |
35,44 |
і |
104,50 |
103,40 |
102,30 |
101,40 |
100,20 |
102,49 |
Х |
Проведемо аналітичне групування статистичних даних. Кількість груп, величина інтервалу та характеристики окремих груп покупців за ціною вже визначені в ході побудови таблиць комбінаційного розподілу. А тому необхідні дані візьмемо з робочих таблиць 1.2 – 1.5 і результати групування представимо в підсумковій таблиці 1.14.
Таблиця 1.14 – Залежність обсягу попиту від ціни
Групи покупців за ціною одиниці продукції |
Кіль-кість покуп-ців |
Ціна одиниці продукції, грн. |
Обсяг попиту, тис. т |
||
Сума, грн. |
Середня ціна одиниці продукції, грн. |
Сума, тис. т |
Середній обсяг попиту, тис. т |
||
100 – 101 |
3 |
301,3 |
100,43 |
168 |
56,00 |
101 – 102 |
3 |
305,3 |
101,77 |
129 |
43,00 |
102 – 103 |
5 |
512,5 |
102,5 |
178 |
35,60 |
103 – 104 |
3 |
311,3 |
103,77 |
67 |
22,33 |
104 – 105 |
2 |
209,5 |
104,75 |
25 |
12,50 |
Разом |
16 |
1639,9 |
102,49 |
567 |
35,44 |
Визначаємо зміну значень факторної і результативної ознак при переході від однієї групи до іншої за формулами:
∆х = і+1 - і; ∆у = і+1 - і
Визначаємо відношення ∆у / ∆х, які показують приріст результативної ознаки при зміні факторної на одиницю. Результати обчислень заносимо в таблицю 1.15.
Таблиця 1.15 – Ефект впливу ціни на обсяг попиту
Групи покупців за ціною |
Зміна факторної ознаки, ∆х |
Зміна результативної ознаки, ∆у |
∆у / ∆х |
100 – 101 |
- |
- |
- |
101 – 102 |
1,34 |
- 13,00 |
- 9,701 |
102 – 103 |
0,73 |
- 7,40 |
- 10,137 |
103 – 104 |
1,27 |
- 13,27 |
- 10,449 |
104 – 105 |
0,98 |
- 9,83 |
- 10,031 |
Будуємо емпіричну лінію регресії.
Попит (тис.шт.) |
60 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
Ціна од. прод. (грн.) |
Висновок
Побудована нами таблиця 1.13 комбінаційного розподілу називається таблицею співзалежності або кореляційною таблицею. Кожний її рядок містить частоти умовного розподілу покупців за обсягом попиту. Підсумковий рядок містить частоти безумовного розподілу. Зв’язок між ціною і попитом стохастичний, оскільки кожному інтервалу значень ціни відповідають декілька значень обсягу попиту. Безладного розташування частот не спостерігається. У розташуванні частот має місце певна системність. Характерним поєднанням частот є їх концентрація навколо діагоналі зверху вниз ліворуч, що свідчить про обернений лінійний зв’язок. У першій групі покупців з низьким рівнем ціни (до 101 грн.) переважають покупці з високим рівнем попиту (понад 40 тис. т), а в п’ятій групі (понад 104 грн.) усі покупці пред’являють попит в обсязі лише до 20 тис. т. частоти розташовані навколо діагоналі купчасто, решта клітинок не заповнені, клітинки заповнені не великими, а малими цифрами, а це означає, що між ціною і попитом існує досить тісний зв’язок. Зі зміною ціни змінюються і групові середні обсяги попиту, отже, виявлений нами стохастичний зв’язок є кореляційним. Для проведення дисперсійного і кореляційно-регресійного аналізів необхідно провести тестування на нормальність емпіричного розподілу покупців за ціною та обсягом попиту, який лежить в основі проведеного групування.
Результати аналітичного групування представлені в таблиці 1.14. зростання середніх цін призводить до систематичного зниження середніх обсягів попиту, що підтверджує наявність оберненого зв’язку між ціною та попитом. Це ілюструє і побудована нами емпірична лінія регресії. Ефекти впливу ціни на попит визначено на основі відношень приростів групових середніх, результати обчислень представлені в таблиці 1.15.
В другій групі порівняно з першою із зростанням ціни на 1 грн. обсяг попиту знижується на 9,701 тис. т, у третій ефект впливу ціни на попит становить 10,137 тис. т. у четвертій – 10,449 тис. т, у п’ятій – 10,031 тис. т. результати аналітичного групування використаємо при проведенні дисперсійного аналізу.
Розрахункова робота № 2 аналіз рядів розподілу
Завдання: Визначити показники центру розподілу, показники варіації та показники форми розподілу
Виходячи з гіпотези про нормальний розподіл обчислити теоретичні частоти в емпіричному ряді розподілу одиниць статистичної сукупності та при допомозі критерію узгодження Пірсона і Колмогорова перевірити, чи узгоджується емпіричний розподіл з гіпотетичним нормальним розподілом.
За даними аналітичного групування маємо наступні вихідні дані для вирішення поставленого завдання:
Таблиця 2.1 – Розрахунок показників центру розподілу та варіації
Група покупців за ціною |
Кіль-кість покуп-ців f |
Сере-дина інтер-валу х |
xf |
Нагро-мад-жена часто-та, S |
х
-
|
|х - | |
|х - | f |
|
2f |
До 101 |
3 |
100,5 |
301,5 |
3 |
-1,88 |
1,88 |
5,63 |
3,5344 |
10,59 |
101 –102 |
3 |
101,5 |
304,5 |
6 |
-0,88 |
0,88 |
2,63 |
0,7744 |
2,10 |
102 –103 |
5 |
102,5 |
512,5 |
11 |
0,12 |
0,12 |
0,63 |
0,0144 |
0,05 |
103 –104 |
3 |
103,5 |
310,5 |
14 |
1,12 |
1,12 |
3,38 |
1,2544 |
3,75 |
понад 104 |
2 |
104,5 |
209,0 |
16 |
2,12 |
2,12 |
4,25 |
4,4944 |
8,98 |
Разом |
16 |
х |
1638,0 |
х |
х |
х |
16,52 |
х |
25,47 |
2Визначаємо показники центру розподілу:
-
середню арифметичну зважену
=
=
= 102,38
-
медіану
Me
= XMe
+ h *
,
де XMe – нижня межа медіанного інтервалу;
h – величина інтервалу групування;
S (-1) – нагромаджена частота інтервалу, який передує медіанному;
fMe – частота медіанного інтервалу;
n – число одиниць сукупності.
Медіанний інтервал 102 – 103, оскільки нагромаджена частота цього інтервалу (11) більша півсуми частот (8).
XMe = 102; S (-1) = 6; h = 1; n = 16; fMe =5
Me
= 102 + 1 *
= 102,4;
-
моду Мо =
ХМо
+ h *
,
де ХМо – нижня межа модального інтервалу;
h – величина інтервалу групування;
f Mo – частота, яка відповідає модальному інтервалу;
f (-1) – передмодальна частота;
f (+1) – післямодальна частота.
Модальний інтервал 102 – 103, оскільки йому відповідає найбільша частота (5). ХМо = 102; fMo = 5; f(-1) = 3; f(+1) = 3; h = 1.
Mo = 102 +
1 *
= 102,5
Визначаємо моду і медіану графічним способом, для чого будуємо гістограму і кумуляту.
f
6
5 5
4
3 3 3 3
2
2
1
100 - 101 101 - 102 102 - 103 103 - 104 104 -105 Х
Рисунок 2.1 - Гістограма
S
-
16
14
12
10
8
6
4
2
0 100 101 102 103 104 105 Х
Рисунок 2.2 – Кумулята інтервального варіаційного ряду
Обчислюємо показники ступеня варіації:
- розмах варіації: R = Xmax - Xmin = 105 – 100 = 5,
де Хmax – максимальне значення ознаки;
Хmin – мінімальне значення ознаки;
-
середнє лінійне відхилення:
=
=
=
1,033;
-
дисперсію: σ2 =
=
= 1,59;
-
середнє квадратичне відхилення:
=
=
= 1,262;
-
коефіцієнт осциляції: VR
=
100 % =
100 % = 4,88 %;
- лінійний
коефіцієнт варіації:
=
100 % =
100 % = 1,01 %;
-
квадратичний коефіцієнт варіації: Vσ
=
100 % =
100 % = 1,23 %
Визначаємо показники форми розподілу. Для наближеної оцінки розподілу зіставляємо значення середньої арифметичної, медіани і моди.
= 102,38;
Ме = 102,40; Мо = 102,50 –
< Mе < Mо
Отже,
має місце лівостороння асиметрія. Для
наближеного визначення міри і напряму
скошеності обчислюємо стандартизоване
відхилення за формулою: АS
=
=
= - 0,0158;
АS
=
=
= - 0,0951 < 0
As < 0, що свідчить про лівосторонню низьку асиметрію.
Вирівнювання за кривою нормального розподілу.
Визначаємо теоретичні частоти за формулою:
f‘ = n [ F(xi) - F(xi-1) ] , де
n = Σf – обсяг сукупності;
F(x)
=
dt
– інтегральна
функція нормального розподілу Лапласа,
яка табульована. Функція F(x)
ґрунтується на
стандартизованих відхиленнях.
t
=
,
де
– верхня межа інтервалу групування.
Так, для F(0,489)
= 0,6876. при
від’ємних значеннях t,
функція становить: F
(-t)
= [ 1 – F(x)
]. Наприклад, F
(-1,087)
= 1 – 0,8615 = 0,1385.
Таблиця 2.2 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
Інтервал групування |
Частота, f |
|
t |
F(x) |
F(xi) - F(xi-1) |
f‘ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
до 101 |
3 |
101 |
- 1,094 |
0,138 |
0,138 |
2 |
101 - 102 |
3 |
102 |
- 0,301 |
0,382 |
0,244 |
4 |
102 - 103 |
5 |
103 |
0,491 |
0,688 |
0,306 |
5 |
103 - 104 |
3 |
104 |
1,284 |
0,900 |
0,212 |
4 |
понад 104 |
2 |
105 |
2,076 |
0,981 |
0,081 |
1 |
Разом |
16 |
х |
х |
х |
х |
16 |
Для
об’єктивної оцінки істотності відхилень
(f -
f‘)
використовуємо критерій
узгодження Пірсона
Таблиця 2.3 – Розрахунок критерію Пірсона
Частоти |
Відхилення |
( |
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
1 |
1 |
0,50 |
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
)2
Продовження таблиці 2.3
5 |
5 |
0 |
0 |
0,00 |
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1,00 |
Разом |
— |
— |
— |
2,00 |
Фактичне значення χ2 порівнюємо з критичним для ймовірності 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 і числа ступенів вільності k = m – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2, де m – число груп; r = 2 – число параметрів функції. Критичне значення χ20,95(2) = 6,00; χ2 = 2,00. Отже. оскільки розрахункове значення χ2 менше критичного, з ймовірністю 95% можна стверджувати, що розподіл покупців за ціною одиниці продукції відповідає нормальному закону.
Обчислюємо критерій Колмогорова λ.
Таблиця 2.4 – Розрахунок критерію Колмогорова
|
|
Нагромаджені частоти |
|
| - | |
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
6 |
6 |
0 |
0 |
5 |
5 |
11 |
11 |
0 |
0 |
3 |
4 |
14 |
15 |
-1 |
1 |
2 |
1 |
16 |
16 |
0 |
0 |
-
Критерій Колмогорова обчислюэмо за формулою:
λ
=
,
де
D = max
|
-
|;
λ =
.
Для розрахованого λ в таблиці знаходимо ймовірність Р(0,3) = 1,00. Отже, при випадковому походженні відхилень , ймовірність того, що λ не перевищить 0,30, близька до 1,00.
Використаємо для оцінки наближення фактичного розподілу до теоретичного критерій узгодження В.І. Рома-новського.
R
=
,
де χ2 – критерій Пірсона;
k – ступінь вільності.
R
=
Величина виразу R менша трьох і це дає підстави стверджувати, про можливість прийняття теоретичного розподілу за закон даного розподілу, тобто розподіл покупців за ціною одиниці продукції є нормальним.
Для отримання відповіді на питання про міру розбіжності між фактичним і теоретичним розподілом використаємо критерій узгодження Б.С. Ястремського.
L
=
,
де n – кількість груп;
χ2 – критерій Пірсона;
Q – величина, яка приймає значення 0,6, якщо n < 20.
L
=
Оскільки | L | < 3, то з ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що розподіл покупців за ціною є нормальним.
Зобразимо емпіричний та теоретичний розподіл графічно.
Рисунок 2.3. Теоретична та емпірична криві розподілу
Якщо
для вирівнювання ряду розподілу
використовується диференційна функція
Лапласа:
,
то тоді теоретичні частоти визначаються
за формулою:
,
де N
= Σf
– обсягу сукупності, або сума частот
варіаційного ряду;
і – інтервал групування;
– середнє
квадратичне відхилення.
Функція
також табульована і її значення знаходимо
в таблицях, попередньо визначивши
нормовані відхилення
,
де х –
середина інтервалу групування.
Таблиця 2.5 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
Інтервал групування |
Частоти |
х |
t |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
до 101 |
3 |
100,5 |
- 1,49 |
0,1315 |
2 |
101 – 102 |
3 |
101,5 |
- 0,70 |
0,3123 |
4 |
102 – 103 |
5 |
102,5 |
0,10 |
0,3970 |
5 |
103 – 104 |
3 |
103,5 |
0,89 |
0,2685 |
4 |
Понад104 |
2 |
104,5 |
1,68 |
0,0973 |
1 |
Разом |
16 |
х |
х |
х |
16 |
Наприклад,
= 102,38;
= 1, 262, тоді t
для першої групи t
=
.
В таблицях
знаходимо
.
Тоді
.
Аналогічно проводимо тестування нормальності емпіричного розподілу покупців за обсягом попиту, для чого з таблиці комбінаційного розподілу 1.13 (розрахункової роботи 1) виписуємо відповідний інтервальний варіаційний ряд.
Таблиця 2.6 – Тестування нормальності емпіричного розподілу покупців за обсягом попиту
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб |
1 |
2 |
до 20 |
3 |
20 - 30 |
3 |
30 - 40 |
5 |
40 - 50 |
3 |
Понад 50 |
2 |
Разом |
16 |
Для цього ряду також визначаємо середнє значення попиту, середнє квадратичне відхилення, після чого вирівнюємо ряд розподілу за інтегральною або диференційною функцією Лапласа і перевіряємо істотність відхилень емпіричних і теоретичних частот за допомогою критеріїв узгодження.
Таблиця 2.7 – Розрахунок показників центру розподілу та варіації
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб, f |
Середина інтервалу, y |
y*f |
y
-
|
(y - )2 |
(y - )2* f |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
до 20 |
3 |
15 |
45 |
- 18,75 |
351,56 |
1054,68 |
20 - 30 |
3 |
25 |
75 |
- 8,75 |
76,56 |
229,68 |
30 - 40 |
5 |
35 |
175 |
1,25 |
1,56 |
7,8 |
40 - 50 |
3 |
45 |
135 |
11,25 |
126,56 |
379,68 |
понад 50 |
2 |
55 |
110 |
21,25 |
451,56 |
903,12 |
Разом |
16 |
х |
540 |
х |
1007,8 |
2574,96 |
=
тис. т
Таблиця 2.8 – Розрахунок теоретичних частот нормальної кривої
Групи покупців за обсягом попиту, тис.т |
Кількість покупців, осіб, f |
Верхня межа інтервалу групування, y’ |
|
F(y) |
F(y) - F(y-1) |
= Σf [F(y) - F(y-1)] |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
до 20 |
3 |
20 |
- 1,08 |
0,140 |
0,140 |
2 |
20 - 30 |
3 |
30 |
- 0,30 |
0,382 |
0,242 |
4 |
30 - 40 |
5 |
40 |
0,49 |
0,688 |
0,306 |
5 |
40 - 50 |
3 |
50 |
1,28 |
0,900 |
0,212 |
4 |
понад 50 |
2 |
60 |
2,07 |
0,981 |
0,81 |
1 |
Разом |
16 |
х |
х |
х |
х |
16 |
Таблиця 2.9 – Розрахунок критерію Пірсона
Частоти |
Відхилення |
( )2 |
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0,5 |
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,5 |
5 |
5 |
0 |
0 |
0,0 |
3 |
4 |
- 1 |
1 |
0,25 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1,00 |
16 |
16 |
х |
х |
2,25 |
Розрахункове значення критерію Пірсона χ2 = 2,25. Критичне значення критерію Пірсона χ20,95(2) = 6,00 < χ2. Отже, розподіл покупців за обсягом попиту відповідає закону нормального розподілу.
Для узагальнення характеристики розподілу покупців за ціною використаємо моменти і обчислимо стандартизовані моменти третього та четвертого порядків.
Таблиця 2.10 – Розрахунок коефіцієнтів асиметрії та ексцесу
Група покупців за ціною |
Кіль-кість покуп-ців f |
Сере-дина інтер-валу х |
xf |
х - |
(х - )2f |
3f |
4f |
до 101 |
3 |
100,5 |
301,5 |
-1,88 |
10.59 |
- 19,92 |
37,38 |
101–102 |
3 |
101,5 |
304,5 |
-0,88 |
2.1 |
- 2,04 |
1,77 |
102–103 |
5 |
102,5 |
512,5 |
0,12 |
0.05 |
0,00 |
0,00 |
103–104 |
3 |
103,5 |
310,5 |
1,12 |
3.75 |
4,20 |
4,68 |
понад104 |
2 |
104,5 |
209,0 |
2,12 |
8.98 |
19,04 |
40,32 |
Разом |
16 |
х |
163,0 |
х |
25,47 |
1,28 |
84,15 |
=
Стандартизований момент третього порядку визначимо за формулою:
,
де
- центральний момент третього порядку,
який визначається за формулою:
;
;
Отже, ми маємо дуже низьку правосторонню асиметрію.
Встановимо істотність асиметрії. Для цього визначимо середню квадратичну похибку асиметрії:
Критерій істотності асиметрії:
Стандартизований момент четвертого порядку визначаємо за формулою:
;
де
;
Отже, розподіл є плосковершинним.
Встановлюємо істотність ексцесу. Для цього визначимо середню квадратичну похибку ексцесу:
Критерій істотності ексцесу:
