- •Теорія ймовірностей
- •Робоча програма
- •Іі. Випадкові величини
- •Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
- •Методичні рекомендації щодо виконання розрахунково-графічної роботи
- •1. Випадкові події
- •Основні поняття. Операції над подіями
- •Означення ймовірності події. Безпосереднє обчислення імовірностей
- •Властивості ймовірності
- •Елементи комбінаторики
- •Основні правила комбінаторики
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 1
- •1.4. Теореми додавання та множення ймовірностей
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 2
- •1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 3
- •1.6. Повторні незалежні випробування
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 4
- •2. Випадкові величини
- •2.1. Закони розподілу випадкових величин
- •2.2. Числові характеристики випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •2 .3. Основні види розподілів ймовірностей випадкових величин
- •2 .3.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 7
- •Додаток 2
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Література
1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса
Нехай подія А може наступити за умови появи однієї з несумісних подій , , , . . . , , які утворюють повну групу, відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності , , , . . . , події А.
Теорема. Ймовірність події , яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій , , , . . . , , які створюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.
. (1.15)
Рівність (1.15) називається формулою повної ймовірності.
Приклад. Економіст вважає, що ймовірність зростання вартості акцій деякої компанії наступного року дорівнюватиме 0,75, якщо економіка країни буде на підйомі; і ця ж ймовірність дорівнюватиме 0,30, якщо економіка країни не буде успішно розвиватися. На його думку, ймовірність економічного підйому в новому році дорівнює 0,80. Використовуючи припущення економіста, оцініть ймовірність того, що акції компанії піднімуться в ціні наступного року. |
Розв’язання. Визначимо події:
А = {Акції компанії зростуть в ціні у наступному році}.
Подія А може статися лише разом із однією з гіпотез:
= {Економіка країни буде на підйомі};
= {Економіка країни успішно не розвиватиметься}.
Відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності події А:
= 0,80; = 0,20.
= 0,75; = 0,30.
Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Розглянемо подію А — це або , або . Події та — несумісні попарно. Події і А, і А — залежні.
Вищевикладене дозволяє застосувати для визначення шуканої ймовірності події А формулу повної ймовірності
= 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.
Знову розглянемо події які утворюють повну групу подій і попарно несумісні. Ці події називатимемо гіпотезами. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:
. (1.16)
Замінивши за формулою (1.15), отримаємо
.
Приклад. Економіст вважає, що протягом періоду активного економічного зростання американський долар зростатиме в ціні з ймовірністю 0,70, в період помірного економічного зростання він зросте з ймовірністю 0,40 і при низьких темпах економічного зростання долар подорожчає з ймовірністю 0,20. Протягом будь-якого періоду часу ймовірність активного економічного зростання — 0,30; помірного економічного зростання — 0,50 і низького зростання — 0,20. Передбачимо, що долар дорожчає протягом поточного періоду. Чому дорівнює ймовірність того, що аналізований період збігся з періодом активного економічного зростання? |
Розв’язання. Визначимо події:
А = {Долар дорожчає}.
Вона може статися лише разом з однією із гіпотез:
= {Активне економічне зростання};
= {Помірне економічне зростання};
= {Низьке економічне зростання}.
Відомі апріорні ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А:
= 0,30, = 0,50, = 0,20, = 0,70, = 0,40, = 0,20.
Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Подія А — це або , або , або . Події , або та — несумісні попарно. Потрібно знайти уточнену (післядослідну, апостеріорну) ймовірність першої гіпотези, тобто необхідно знайти ймовірність активного економічного зростання, за умови, що долар дорожчає (подія А вже сталася), тобто
Використовуючи формулу Баєса (1.16) і підставляючи задані значення ймовірностей, маємо