Завдання 6

На основі заданої функції розподілу ймовірностей прибутку підприємця потрібно визначити:

а) математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення прибутку підприємця;

б) ймовірність того, що прибуток підприємця набуде значення з інтервалу (а, b):

Значення п, а, b наведені в таблиці. Задачу проілюструвати графічно.

№ варіанта	n	a	b
1	2	0,5	1,5
2	4	2,5	3,5
3	6	4,5	5,5
4	8	6,5	7,5
5	10	8,5	9,5
6	9	7,5	8,5
7	7	5,5	6,5
8	5	3,5	4,5
9	3	1,5	2,5
10	1	0,5	1,0
11	10	8,0	9,0
12	9	7,0	8,0
13	8	6,0	7,0
14	7	5,0	6,0
15	6	4,0	5,0
16	5	3,0	4,0
17	3	1,0	2,0
18	2	0,5	1,0
19	11	7,5	9,5
20	10	7,5	8,5
21	12	10,5	11,5
22	7	5,5	6,5
23	8	7,0	7,5
24	9	8,0	8,5
25	6	4,5	5,0
26	5	3,5	4,0
27	7	6,5	7,0
28	9	7,5	8,0
29	6	4,5	5,0
30	8	7,5	8,0

2 .3. Основні види розподілів ймовірностей випадкових величин

2 .3.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин

Біноміальний розподіл. Біноміальним називається закон розподілу ймовірностей, що визначаються за формулою Бернуллі

.

	0	1	2	…	k	…	п
				…		…

, , . (2.10)

Приклад. Підприємство має двох оптових покупців продукції, для кожного з них ймовірність несвоєчасного розрахунку з підприємством дорівнює 0,4. Побудувати ряд розподілу і функцію розподілу числа несвоєчасних розрахунків за продукцію.

Розв’язання. Випадкова величина Х – число несвоєчасних розрахунків за продукцію – може приймати такі значення Знайдемо ймовірності можливих значень Х:

Ряд розподілу

	0	1	2
	0,36	0,48	0,16

Контроль 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1;

Розподіл Пуассона

	0	1	2	…	m	…	п
				…		…

де , , , .

, , . (2.11)

Геометричний розподіл. Дискретна випадкова величина Х має геометричний розподіл з параметром p, якщо вона набуває значень  1, 2,..., m .(нескінченна, але рахункова множина значень) з ймовірністю , де 0 < p < 1, q = 1 - p.

Ряд геометричного розподілу має вигляд:

	1	2	3	...	m	…
				..		…

.

Приклад. Проводиться перевірка великої кількості банкнот до виявлення фальшивої (без обмеження числа перевірених банкнот). Скласти закон розподілу числа перевірених банкнот. Знайти його математичне сподівання і дисперсію, якщо відомо, що ймовірність того, що банкнота фальшива дорівнює 0,05.

Розв’язання. Випадкова величина Х – число перевірених банкнот до виявлення фальшивої має геометричний розподіл з параметром р = 0,05.

Розглянемо можливі значення випадкової величини: - перша банкнота фальшива ( ), - перша дійсна, а друга банкнота фальшива ( ), - перша і друга банкнота дійсна, а третя фальшива ( ), …

Тому ряд розподілу має вигляд

	1	2	3	…	m+1	…
	0,05	0,95·0,05	0,952·0,05	…	0,95m·0,05	…

.

Гіпергеометричний закон розподілу. Припустимо є множина N елементів, серед яких М елементів володіють деякою ознакою А. Вибирається випадковим чином без повернення n елементів. Потрібно знайти ймовірність того, що з них m елементів володіють ознакою А. Шукана ймовірність (залежна від N, М, n, m) визначається за формулою

Дискретна випадкова величина має гіпергеометричний закон розподілу, якщо вона набуває значень 0, 1, 2, 3, …., m з ймовірностями:

.

Ряд гіпергеометричного закону розподілу має вигляд:

	0	1	2	…	M
				…

, , . (2.12)

2.3.2. Закони розподілу неперервних випадкових величин

Рівномірний розподіл. Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать можливі значення випадкової величини щільність ймовірностей зберігає стале значення, тобто:

; (2.13)

Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:

Приклад. При проведенні маркетингових досліджень встановлено, що ціна на деякий вид товару має рівномірний розподіл в інтервалі від 1200 до 1800 гривень. Визначити функцію розподілу і ймовірність того, що ціна товару буде менша 1400 грн. Визначити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення ціни товару.

Розв’язання. Щільність ймовірностей випадкової величини х, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою:

По умові завдання мінімальна ціна товару дорівнює а = 1200 грн., а максимальна b = 1800 грн., і щільність ймовірностей ціни товару х можна записати у вигляді:

Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини може бути записана у вигляді:

Ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал (a,b) визначається формулою

В інтегралі нижня межа узята рівною а = 1200, оскільки при х < а = =1200 f(x)= 0.

Математичне сподівання рівномірно розподіленої випадкової величини визначається за формулою (2.13). Для математичного сподівання ціни товару отримали:

Дисперсію ціни товару знайдемо за формулою (2.13):

(грн.)².

Середнє квадратичне відхилення ціни товару від математичного сподівання буде дорівнювати:

грн.

Показниковий розподіл. Показниковим називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, яку можна описати щільністю

; (2.14)

Функція розподілу показникового закону:

Ймовірність попадання значень випадкової величини Х, розподіленої за показниковим законом в інтервал визначається за формулою

(2.15)

Приклад. Час очікування біля бензоколонки автозаправної станції є випадковою величиною Х, що розподілена за показниковим законом із середнім часом очікування, що дорівнює . Знайти ймовірність події

Розв’язання. За формулами (2.15) маємо:

Нормальний розподіл. Закон розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається нормальним, якщо його щільність має вигляд

де і – параметри розподілу.

(2.16)

Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини

Ф Ф (2.17)

Ймовірність заданого відхилення

(2.18)

Приклад. Статистичні дані прибутку на душу населення показали, що річний прибуток працівників банку має нормальний розподіл із середнім значенням 9 800 грн. і середньоквадратичним відхиленням – 1 600 грн. Якщо вибрано особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток буде знаходитись між 8 520 та 12 200 грн.?

Розв’язання.

Знайдемо:

Тоді

.

Приклад. Помилки обчислень, зроблені бухгалтером при складанні балансу, розподіляються у відсотках за нормальним законом розподілу з параметрами і Якими будуть межі помилок обчислень з ймовірністю 0,9973?

Розв’язання. Скориставшись формулою (2.18), маємо:

Тоді .

За таблицею додатка 2 знайдемо, що

отже,