Шляхи до оптимального рішення
Всякий раз, коли вибір здійснюється в умовах невизначеності, насамперед варто усвідомити, який зміст вкладається в поняття оптимальне рішення.
У той же час, якщо потрібно прийняти негайно лише деякі з усієї сукупності рішень, а інші рішення можна відкласти до того моменту, коли невизначеність частково зникне, виникає необхідність проаналізувати можливість побудови умовного плану, або стратегії.
Математичне чекання випадкових величин. У більшості моделей, до розгляду яких ми переходимо, фактор невизначеності позначається на значеннях обраного (або заданого) економічного критерію ефективності. Тому, саме математичне чекання (яке називається також середнім або очікуваним значенням) економічного критерію буде постійно використовуватися далі в якості цільової функції, що оптимізується.
Відшукування математичних чекань різного роду, взагалі, ненабагато складніше обчислення середніх для заданих розподілів. Для підтвердження цього зауваження дамо короткий огляд основних понять, що будуть використовуватися при аналізі прикладів, що приводяться далі.
Нехай
Х
є
випадкова величина, що може приймати
одне зі значень
.
Позначимо
через
імовірність
того, що X
приймає
значення п.
Тоді
математичне чекання випадкової величини
X
визначається
наступною формулою:
(9.1)
Якщо перемінна X може з деякою позитивною імовірністю приймати будь-яке ненегативне цілочисельне значення, у виразі (9.1) замість N повинний фігурувати символ ∞; при цьому (як і в інших випадках, коли робиться підсумовування нескінченної послідовності значень) постулюється, що математичне чекання завжди є кінцевим числом.
Оптимальні
рішення.
Звернемося
знову до задачі розширення виробництва
фірми. Нагадаємо, що мова йшла про дилему:
збільшити виробничі потужності існуючого
підприємства або побудувати новий
завод. Прибуток, одержуваний фірмою в
результаті прийняття того або іншого
рішення, залежить від того, яка частка
ринків збуту буде контролюватися фірмою
у наступні періоди. Припустимо, що
президент фірми оцінює імовірність
того, що фірма зможе зберегти контроль
за 35% ринку збуту, що приходяться на її
частку, в
,
а імовірність того, що ця частка буде
дорівнювати 30 та 40%, – в
та
відповідно. Річний доход фірми в кожному
з цих випадків зазначений у табл. 9.1.
Таблиця 9.1
Завдання фірми
Частка ринку збуту, контрольована фірмою, % |
Оцінка імовірності
|
Річний доход, млн. дол. |
|
збільшення виробничих потужностей діючого підприємства |
будівництво нового підприємства |
||
30 |
|
90 |
50 |
35 |
|
100 |
100 |
40 |
|
130 |
150 |
(9.2)
Порівнюючи отримані значення очікуваного річного прибутку, бачимо, що варіант, який передбачає будівництво нового заводу, трохи вигідніше.
Невизначеність у виборі варіантів дій. Припустимо тепер, що у зв’язку з рішенням задачі календарного планування виробництва вдалося розробити динамічну стратегію, що дозволяє визначити, яким має бути обсяг продукції, що випускається, при довільному значенні рівня запасів на початку будь-якого відрізка планового періоду. Така стратегія фактично привела б до імовірнісного розподілу для планованих на майбутнє обсягів випуску продукції.
Для більшості динамічних задач, що містять елементи імовірнісного характеру, потрібно планувати майбутні рішення з урахуванням майбутньої невизначеності. З огляду на цю обставину, необхідним є в кожному конкретному випадку ретельно вивчити структуру стохастичної моделі на предмет уточнення інформації про попередні значення випадкових величин, яка є в наявності на момент прийняття кожного управляючого рішення.
Мультичасова цільова функція. В стохастичних динамічних моделях, призначених для оптимізації деякої послідовності значень доходу (ефекту) цільова функція являє собою очікуване значення її детерміністського аналога.
Проілюструємо цю думку на наступному прикладі. Нехай Rt –доход, одержуваний, відповідно до динамічної моделі, на відрізку t.
Як
уже відзначалося, при наявності елементів
невизначеності стратегія формування
управляючих рішень протягом повного
планового періоду породжує спільний
розподіл імовірностей для елементів
послідовності
.
Приймемо як постулат, що цільовою
функцією є математичне чекання сумарного
приведеного потоку доходів:
(9.3)
де
–
одновідрізний
коефіцієнт дисконтування, що задовольняє
умові
.
Будемо припускати, що сумарний приведений
доход має кінцеве математичне чекання.
Математичне чекання (9.3) задається спільним розподілом імовірностей . Співвідношення (9.3) можна спростити, застосувавши фундаментальну теорему про випадкові перемінні: математичне чекання суми дорівнює сумі математичних чекань доданків. Таким чином, з огляду на, що є константа, маємо:
(9.4)
В (9.4) кожне з математичних чекань визначається за допомогою безумовного розподілу імовірностей для відповідної випадкової перемінної.
Побудова розподілів імовірностей. Розглянуте нами стохастичне моделювання припускає, що керівник має у своєму розпорядженні можливість вибору розподілу імовірностей, що дозволило б описати характер невизначеності, яка є в моделі. Отже, керівник має приписати ненегативні кількісні ваги кожній можливій події, дотримуючись при цьому наступних умов:
(1) якщо подія є достовірною, то відповідна йому вага дорівнює одиниці;
(2) якщо події А та В є взаємно виключними, то вага події „або А, або В” дорівнює сумі ваг цих подій.
У процесі розвитку теорії імовірностей математиками було запропоновано кілька способів інтерпретації ваг випадкових подій. Найбільш розповсюдженою є інтерпретація, заснована на використанні поняття відносна частота настання випадкової події.
В останні роки з’явилася велика кількість робіт, присвячених методам визначення ваг випадкових параметрів, що правильно відбиває „особисті” прогнози керівника. Це напрямок досліджень звичайно відносять до так називаної статистичної теорії прийняття рішень; іноді такого роду дослідження іменують байесовським аналізом.
Можна лише відзначити, що при рішенні практичних задач в основному використовуються наступні чотири методи побудови розподілів імовірностей:
1) Інтроспекція (самоаналіз);
2) Використання ретроспективних даних;
3) Апроксимація;
4) Аксіоматичний підхід.
Частіше ж усього застосовуються різні комбінації перерахованих методів.
На закінчення відзначимо, що фактор невизначеності позначається на структурі стохастичних моделей подвійно: по-перше, спостерігається прямий прояв імовірнісного характеру задачі, що виражається в урахуванні випадкових подій в явному виді; по-друге, має місце опосередкований прояв елемента невизначеності, що походить із самого процесу визначення ваг випадкових величин, що описують розглянуте явище.
В області імовірнісного моделювання ведуться великі дослідження, пов’язані з аналізом чутливості стохастичних рішень до варіацій розподілу імовірностей. Особливий інтерес представляють наступні питання: пошук найкращого способу оцінки параметрів розподілів, використовуваних в оптимізаційних моделях; ефективні методи апроксимації; способи обліку в оптимізаційній моделі невизначеності, пов’язаної з розподілом імовірностей; методи побудови „надійних” моделей на основі обмеженого обсягу ретроспективних даних.