Лабораторна робота № 5 розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Постановка задачі

Дано систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

Потрібно знайти її розв'язок, тобто таку сукупність значень невідомих x₁, x₂, …, x_n, яка при підстановці в дану систему перетворює всі рівняння в тотожності.

Завдання

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, задану в матричній формі А*Х=У, де А – матриця в якої знаходяться коефіцієнти при невідомих, а матриця В – права частина рівнянь .

Порядок виконання

1. Розв'язання методом Крамера.

Номер першого рядка (стовпця) матриці або першого компонента вектора, знаходиться в Mathcad у змінної ORIGIN. За замовчуванням в Mathcad координати векторів, стовпці й рядки матриці нумеруються починаючи з 0 (ORIGIN:=0). Оскільки в математичному записі частіше використається нумерація з 1, зручно перед початком роботи з матрицями визначати значення змінної ORIGIN рівним 1, виконувати команду ORIGIN:=1

Із матриці А створимо матриці А1, А2 та А3.

А1:=А А2:=А А3:=А

В матрицях А1, А2 та А3 замінимо перший, другий та третій стовпчики відповідно на матрицю В.

А1^<1>:=B A2^<2>:=B A3^<3>:=B

Знайдемо визначники матриць А, А1, А2, А3.

|A|=-119 |A1|=-11 |A2|=56 |A3|=-176

За формулами Крамера обчислимо невідомі Х1, Х2 та Х3.

X1=0.092 X2=-0.471 X3=1.479

2. Розв'язання методом Гаусса.

Для формування розширеної матриці системи D об’єднаємо матриці А та В за допомогою функції augment:

D:=augment(A,B)

Приведемо матрицю D до трикутного виду за допомогою функції rref:

C:=rref(D)

Виділимо розв'язок вихідної системи з матриці С:

X:=submatrix(C,1,3,4,4)

де функція submatrix(C,Iр,Jp,Ic,Jс) повертає частину матриці С яка знаходиться між Iр, Jp рядками та Ic, Jс стовбцями.

3. Розв'язання матричним методом.

4. Розв'язання за допомогою функції lsolve.

5. Розв'язання за допомогою блока Given ... Find.

Для розв’язання систем може застосовуватися спеціальний обчислювальний блок, який складається з трьох частин, які йдуть послідовно один за другим:

• Given — ключове слово;

• система, яка записана логічними операторами у вигляді рівностей або можливо нерівностей;

• Find(x1,... ,хм) — вбудована функція для розв’язання системи відносно змінних х1,..., хм.

Вставляти логічні оператори треба, користуючись панеллю інструментів Boolean .

Для розв’язання системи лінійних рівнянь, цим методом, треба задати початкові наближення для змінних х1, х2, х3 рівні 0.

х1:=0 х2:=0 х3:=0

Given

х1-х2+3х3 = 5

-2х1+7х2+х3 = -2

4х1+8х2+5х3 = 4

Варіанти індивідуальних завдань

Вирішити систему лінійних рівнянь:

I варіант

II варіант

III варіант

IV варіант

Для I варіанта K=1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29.

Для II варіанта K=2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30.

Для III варіанта K=3, 7, 11, 15, 19, 23, 27.

Для IV варіанта K=4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.

Де

Лабораторна робота №6 розв'язання нелінійних рівнянь

Постановка задачі

Будь-яке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді

f(x) = 0.

Розв'язання даного рівняння полягає у знаходженні коренів, тобто тих значень х, що перетворюють рівняння в тотожність.

Завдання

Дано нелінійне рівняння

де а₀:=-2 а₁:=5 а₂:=3 а₃:=-1

Необхідно:

1) побудувати графік функції y = f(x) і визначити наближені значення коренів рівняння за допомогою інструменту Zoom;

2) розв'язати рівняння за допомогою функції root;

3) розв'язати рівняння за допомогою функції polyroots;

4) розв'язати рівняння за допомогою розв'язувального блока Given ... Find.

Порядок виконання

1.Графічне розв'язання за допомогою інструменту Trace.

Запишемо коефіцієнти рівняння у вигляді матриці:

:

, а саме рівняння у вигляді

Побудуємо графік функції у(х) на відрізку від -5 до 5 з кроком 0.5, та за допомогою пунктів контекстного меню Format/Grid Lines нанесемо лінії сітки.

З графіка можна побачити, що рівняння на цьому відрізку має три корені. Клацнувши по графіку правою кнопкою миші оберемо пункт меню Trace. Клацнувши лівою кнопкою миші по точці перетину графіка з віссю ОХ одержимо початкове наближення кореня х1. Аналогічно одержимо початкове наближення коренів х2 та х3. Запишемо їх у вигляді

x1:=-1.3816 x2:=0.85526 x2:=3.9474

2. Розв'язання за допомогою функції root.

root(y(x1),x1)=-1.439

root(y(x2),x2)=0.339

root(y(x3),x3)=4.1

3. Розв'язання за допомогою функції polyroots.

x:=polyroots(a)

4. Розв'язання за допомогою блока Given ... Find.

Given

= 0

Find(x1)=-1.439

Given

= 0

Find(x2)=0.339

Given

= 0

Find(x3)=4.1