- •Конспект лекцій з курсу « Теорія ймовірності та випадкові процеси» Розділ 1 Вступ. Поняття ймовірності.
- •Коротка історична довідка.
- •Непарні
- •Властивості ймовірності подій
- •2. Основні формули комбінаторики.
- •Статистичне визначення ймовірності подій
- •1. Для лінійного випадку
- •2. Для плоского випадку
- •1.Умовна ймовірність.
- •Л) незалежні події. Теорема множення незалежних подій.
- •Часто ймовірність події ā позначають
- •0) Наслідки із додавання і множення.
- •1)Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
- •Р(в) – ймовірність попадання другого.
- •Розділ 2: послідовності незалежних випробовувань. Формула бернуллі
- •Вивід формули Бернуллі:
- •Б) Локальна теорема Лапласа (без доведення)
- •Розділ 3. Основні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики. А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
- •В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
- •1) Біноміальний закон.
- •2) Розподіл Пуассона.
- •Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).
- •Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.
- •Математичне сподівання має властивості:
- •Властивості дисперсії.
- •Сталий множник можна виключити
- •Якщо ξ: η- незалежні випадкові величини, то
- •Моменти к-того порядку.
- •Є. Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини
- •Правило трьох „σ”.
- •Ж. Поняття про функції випадкового аргументу і її закон розподілу.
- •Дискретна випадкова величина.
- •Неперервні випадкові величини
- •З. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева , теореми Чебишева та Бернулі. Поняття про теорему Ляпунова.
- •Теорема Бернулі.
- •Теорема Ляпунова. (Поняття).
- •Теореми Чебишева, Бернулі. Та теорема Ляпунова складають закон великих чисел.
- •Вибірка з генеральної сукупності. Розподіл вибірки. Вибіркові характеристики. Загальні поняття математичної статистики.
- •Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.
- •Приклад.
- •Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.
- •Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
- •В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
- •Дисперсія вибірки , де
- •Складаємо наступну розрахункову таблицю
- •Г)Багатовимірні випадкові величини.
- •Розділ 5. Елементи теорії кореляції. А. Функціональна та статистична залежності.
- •Б) Знаходження кореляційного зв‘язку між випадковими величинами у вигляді рівняння лінії регресії.
- •В. Додавання дисперсій
- •Перевірка статистичних гіпотез.
Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.
Нехай випадкова величина Х має нормальний закон розподілу. Нехай приведено вибірку об’ємом “n” і отримане, виправлене, значення вибіркового середньо квадратичного відхилення S. Точне його значення “σ” нам невідоме. Необхідно встановити інтервал надійності, в який ,з імовірністю γ ,потрапляє величина σ генеральної сукупності.
P(|σ - S|<δ)=γ (1)
У співвідношені (1) γ,S –відомі, задані значення. Не відома величина “ δ ”, бо вона, власне, і визначає інтервал S-δ< σ < S+δ. (1’)
Для цього представимо нерівність інтервалу (1’) у вигляді S(1- ) < σ < S(1+ ).
Введемо змінну q= , яка містить невідоме значення . Тоді S(1-q) < σ < S(1+q). Невідомим є “q”. Побудуємо випадкову величину:
,де “n” об’єм вибірки.
Виявляється, що задана випадкова величина задовольняє хі- квадрат ( ) розподілу, густина розподілу,щільність якого описується функцією
R(x,n)=( (2)
Як бачимо, дана функція залежить виключно від об’єму вибірки “n”.
Шуканий інтервал для знаходження , може бути заданий еквівалентним (1) виразом
< < ;
< < (3)
це наша випадкова величина , яка задовольняє рівносильній нерівності
. Тоді відповідне, рівносильне (1) рівняння набуде вигляду
(4)
Із заданого рівняння, по значеннях n і γ, знаходимо “ ” із таблиці №4 Гмурман.
А отже встановлюємо інтервал надійності для σ,а саме:.
S(1-q) < σ < S(1+q)
По експериментальному вибірковому набору значень випадкових величин,їх числових характеристик із заданою надійністю γ можна встановити відповідні характеристики генеральної сукупності.
В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.
Нехай зроблена вибірка дає числові значення параметра ,які ми розмістили в порядку зростання ( параметра ) тобто організували варіаційний ряд. Якщо число членів вибірки велике, а числові значення параметра знаходяться між “ а і в ” то можна розбити інтеграл ( а, в ) на “ к ” однакових частин, середини яких позначимо через . Число значень, що потрапили в “і” інтервал ’’ ”. Тобто встановлюється впорядковані пари
Тоді можна провести обчислення математичного сподівання та дисперсії вибірки
X=1/n∑ , де “n” розмір вибірки n= ∑ ni
S² = 1/n∑ - ( )²
Часто числа досить громіздкі, взагалі кажучи не цілі числа. Тому для обчислення суми застосовують метод умовних варіант, метод добутків.
Нехай один із інтервалів, який, для зручності вибирають приблизно посередині інтервалу ( а,b). Бажано, щоб на цьому інтервалі було найбільшим, але дана умова не є обов‘язковою.
Введемо умовні варіанти
Ui = i-i0 , h = (b – a)/k - крок розбиття.
Тоді, довільне значення параметра xi можна представити:
;
де i = 1… k
Тоді:
Отже
Тоді: , де