§ 3 Означення границі послідовності

Означення Число А називають границею числової послідовності , якщо для будь – якого додатного числа ε знайдеться такий номер (залежний від ε , що для всіх членів послідовності з номерами буде виконуватись залежність (тобто всі елементи будуть знаходитись в ε – околі числа (точки А) Позначається

Послідовності, які мають границю, називаються збіжними.

Послідовності, які не мають границю, називаються незбіжними.

Логічні символи

(квантор загальності) (замість слів “для кожного”, “для будь –якого”

(квантор існування) (замість слів “знайдеться”, “існує”)

(квантор рівносильності) (замість слів “тоді і тільки тоді”)

Зміст означення границі числової послідовності полягає в тому, що для достатньо великих номерів n члени послідовності як завгодно мало відрізняється від числа А, менше ніж на число ε.

Наприклад: 1) Розглянемо числову послідовність

Зобразимо елементи цієї послідовності на вісі OX

1 4 3 2

● ● ● ●

0

Отже, дана послідовність при рості номерів n наближається до числа 1, отже

§ 4 Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Зв’язок між ними.

Змінна називається безмежно малою (б/м), якщо всі її значення після деякого значення за абсолютною величиною будуть меншими будь – якого наперед даного додатного числа , яким би малим воно не було. Якщо є границею змінної x, то кажуть, що або

Змінна z називається безмежно великою (б/в), якщо всі її значення після деякого значення за абсолютною величиною будуть більшими будь – якого наперед даного додатного числа N, яким би великим воно не було.

Б/в величина не має границі, однак для зручності при запису дій з б/в величинами умовно кажуть, що , або

§ 5. Властивості б/м та б/в величин

1. Границя б/м величини дорівнює нулю (тобто, якщо - б/м, то

lim =0, або

2. Різниця між змінною величиною та її границею є величина б/м

(тобто , то , де б/м

3. Величина обернена до б/в є б/м, тобто то

4. Величина обернена до б/м є б/в, тобто то

5. Сума обмежених б/м величин є б/м величина.

6. Добуток б/м величини на обмежену величину є також б/м

§ 6 Основні теореми про границі послідовностей. Розкриття невизначенностей.

Практичне обчислення границь грунтується на такому твердженні: якщо , то

1. ; де c-CONST.

2)

3)

4)

5)

Останнє 5) твердження не можна застосувати, наприклад при обчислені границі частки коли lim x_n = 0; lim у_n = 0. У цьому випадку вираз називають невизначеністю. Обчислення границь таких виразів називають розкриттям відповідних невизначеностей. Невизначеності (0 · ∞) і ( ∞ - ∞) зводять до невизначеності, ; а при розкритті невизначеностей 1^∞ використовують таку важливу границю:

e ≈ 2,71828

Доведення

Розглянемо послідовність

Доведемо, що ця послідовність монотонно зростає і обмежена

зверху, а отже, має границю. Застосовуючи формулу бінома Ньютона, отримаємо:

Спростимо цей вираз та запишемо його в такій формі:

Аналогічно запишемо елемент х _{n +1} :

Оскільки для будь якого 0 < k < n,

т о кожен доданок у виразі для x _{n + 1}, більший за відповідний доданок у виразі x _n починаючи з другого члена. Отже x _n < x _{n + 1}, тобто послідовність {x _n} зростає. Тепер доведемо, що послідовність {x _n} обмежена зверху. По перше, кожен вираз в дужках менше за одиницю. По друге, при n > 2 маємо:

Остаточно отримуємо нерівності:

Оскільки в дужках справа знаходиться сума геометричної прогресії,

т о приходимо до нерівності: