Тема 4. Неперервність функції. Властивості неперервних функцій. Розриви функцій.
Неперервна функція в точці (x=а) - якщо границя функці ї f(x ) при x a існує і співпадає з значенням функції в самій точці а, тобто
Наприклад: f (x) = x2 при х 3
Y
lim x2 = 9 f (3) = 9
9 x3
0 3 x lim x2= f (3) = 9
x3
Неперервна функція в точці (x=а) - якщо безмежно малому приросту аргументу х0 в точці а відповідатиме безмежно малий приріст функції f(х) 0
Необхідна та достатня умови неперервності функції в точці х0:
1.Функція повинна бути визначеною в деякому інтервалі, що містить точку х0 (тобто в самій точці та в її околі)
2. Функція повинна мати однакові односторонні границі, тобто
3. Значення односторонніх границь повинно співпадати с значенням функції в точці х0.
= f(x0)
Розривна функція в точці х0 - якщо вона визначена в скільки завгодно малому околі точки х0, але в самій точці х0 не задовольняє хоча б одній з умов неперервності
Р озрив I роду в точці х0 (без стрибка)- якщо існують скінченні односторонні границі і вони рівні між собою = b y
b
0 a x
Р озрив I роду в точці х0 (з стрибком) - якщо існують скінченні односторонні границі і вони не рівні між собою y
b
a
0 x0 x
Стрибок функції в точці х0 - різниця між правосторонньою
та лівосторонньою границями функції в точці х0
= b - a= с
Розрив II роду в точці х0 - всі інші можливі випадки розриву функції , тобто , якщо
У
0 x
Зауваження до дослідження точок розриву функції:
1. Елементарна функція може мати розриви тільки в окремих точках, але не може бути розривною в усіх точках деякого інтервалу.
2. Елементарна функція може мати розрив тільки в тій точці де вона не визначена, при умові , що вона буде визначеною хоча б з однієї сторони від цієї точки.
3. Неелементарна функція може мати розриви як в точках де вона не визначена, так і в точках де вона є визначеною, зокрема, якщо функцію задано декількома різними аналітичними виразами для різних інтервалів зміни аргументу, то така функція може мати розриви в точках зміни аналітичних виразів.
Наприклад: 1). Дослідити на неперервність функцію
у точці x0 = 2
Розв’язання.
Оскільки lim f ( x) = f (2), то f(x) – неперервна при x0 = 2.
2). Дослідити на неперервність
Розв’язання.
Оскільки функція задана різними формулами на різних проміжках, на кожному з яких вона як елементарна є неперервною, то розрив можливий лише в точці x0 = 0.
l im (x2+1) = 1 = f (0)
x0-0
l im (x -1) = -1 f (0)
x0+0 У
x0 = 0 – точка розриву першого роду. 1
0 x
-1
3). Дослідити функцію на неперервність.
Розв’язання.
D (f) = (-; 0 ) (0; ); f(0) – не існує
y
;
1
0 Х
Отже згідно з класифікацією точок розриву x0 = 0 – точкою розриву другого роду.