14.6. Свойства собственных векторов и собственных значений

Теорема 14.8 В комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство.

Поскольку характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени относительно , то к нему применима основная теорема высшей алгебры, утверждающая, что такое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень.

Теорема доказана.

В случае вещественного линейного пространства теорема 14.8 неверна. Например, линейный оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол не имеет ни одного собственного вектора. Действительно, характеристическое уравнение для этого оператора имеет вид :

или ,

то есть . Откуда следует, что при вещественных решений данное характеристическое уравнение не имеет.

Теорема 14.9 В вещественном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет либо хотя бы один собственный вектор, либо двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство.

Если характеристическое уравнение имеет вещественный корень, то из системы (14.2) находим собственный вектор.

Пусть характеристическое уравнение имеет комплексный корень тогда, решив систему (14.2), получим соответствующий ему комплекснозначный собственный вектор , где u и w – элементы , представляемые вещественными n-компонентными столбцами.

Покажем, что u и w линейно независимые. Допустим противное: . Тогда из соотношения имеем, что , или , то есть – вещественное, что противоречит предположению о невещественности собственного значения.

Подставим выражения для собственного значения и собственного вектора в их определение: . Получаем , или в силу линейности : и из равенства действительных и мнимых частей находим, что

Но это и означает, что оператор имеет двумерное инвариантное подпространство, совпадающее с двумерной линейной оболочкой элементов u и w, поскольку

Теорема доказана.

Задача. Найти собственные значения и собственные векторы оператора , действующего в пространстве трехмерных столбцов и заданного матрицей

.

1. Рассмотрим сначала случай, когда оператор действует в комплексном линейном пространстве. Будем искать собственные значения по формулам (14.2) – (14.3). Воспользовавшись правилом разложения определителя по первой строке, получим

Откуда следует, что из трех собственных значений одно – вещественное и два и – комплексно сопряженные.

2. Найдем теперь собственные векторы. Пусть , тогда, по формулам (14.3) имеем

Преобразовав матрицу построенной системы линейных уравнений, получим компоненты собственных векторов и из условий

.

Следовательно, собственный вектор , отвечающий собственному значению , имеет вид

.

3. Пусть теперь , тогда систему линейных уравнений (14.2)

можно упростить, разделив обе части первого уравнения на . Заметим, что в полученной таким образом системе

третье уравнение оказывается суммой первых двух и его можно отбросить как линейно зависимое.

Заменив затем второе уравнение разностью удвоенного первого и второго, получим

.

И наконец, после умножения обеих частей второго уравнения на приходим к

.

Полагая значение свободного неизвестного , находим второй собственный вектор:

.

4. Проведя аналогичные вычисления, найдем, что собственный вектор, отвечающий собственному значению , имеет вид

(Покажите дома, что комплексная сопряженность и не случайна, то есть если и комплексно сопряжены, то будут комплексно сопряжены и собственные векторы и .)

5. Если оператор действует в вещественном линейном пространстве, то имеет собственный вектор , отвечающий собственному значению , и инвариантное подпространство, являющееся линейной оболочкой элементов и , то есть которое будет состоять из элементов вида

.

Заметим, что при необходимости искомое инвариантное подпространство может быть задано и в виде

.

Теорема 14.10 Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство.

Один собственный вектор линейно независим как ненулевой.

Пусть имеются m линейно независимых собственных векторов оператора , отвечающих различным собственным значениям. Покажем, что в этом случае будут линейно независимы и собственных векторов , если они также отвечают различным собственным значениям.

Предположим противное: существует нетривиальная и равная нулевому элементу линейная комбинация собственных векторов

, (14.4)

причем без ограничения общности можно считать, что число

Подействуем на обе части равенства (14.4):

(14.5)

С другой стороны, умножая обе части равенства (14.4) на и вычитая почленно результат этого умножения из равенства (14.5), получим

Поскольку все собственные значения разные, а векторы линейно независимые, то

Но тогда из (14.4) следует , что противоречит сделанному выше предположению, и по принципу математической индукции из линейной независимости элементов следует линейная независимость элементов .

Теорема доказана.

Следствие. Линейный оператор в может иметь (с точностью до произвольного ненулевого множителя) не более чем n собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Теорема 14.11 Если линейный оператор , действующий в , имеет n различных собственных значений, то существует базис, образованный собственными векторами , в котором матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид, причем на ее диагонали расположены собственные числа оператора .

Доказательство.

Следует из теоремы 14.10.

Теорема 14.12 Пусть – инвариантное собственное подпространство линейного оператора , отвечающее некоторому собственному значению кратности k. Тогда имеет место соотношение

Доказательство.

Выберем в базис так, чтобы его первые элементов принадлежали .

В силу условия кратности собственного значения

,

поэтому матрица в этом базисе будет иметь вид

Откуда следует, что

Поскольку множители вида могут содержаться также и в многочлене , то , где – кратность корня характеристического многочлена .

Условие очевидно, поскольку подпространство ненулевое (содержит собственные векторы).

Теорема доказана.

Таким образом, размерность инвариантного собственного подпространства , отвечающего собственному значению кратности , может оказаться меньше , что иллюстрирует следующая задача.

Задача. Найти собственные значения и собственные векторы оператора, действующего в пространстве двумерных столбцов и заданного матрицей

.

Решение. Находим собственные значения:

то есть и кратность собственного значения . Найдем теперь собственные векторы

.

Таким образом, получаем, что данный линейный оператор имеет одномерное инвариантное собственное подпространство ( ), соответствующее собственному значению кратности 2.

На основании теорем 14.9, 14.10 и 14.11 приходим к выводу, что базис в конечномерном вещественном линейном пространстве, образованный из собственных векторов действующего в нем линейного оператора, может не существовать из-за невещественности или кратности его собственных значений.

Теорема 14.13 Линейный оператор в имеет нулевое собственное значение тогда и только тогда, когда оператор не является взаимно однозначным.

Доказательство.

Линейный оператор имеет в собственное значение, равное нулю, тогда и только тогда, когда его матрица вырожденная, то есть в любом базисе

.

Пусть в координатный столбец образа связан с координатным столбцом прообраза

Из теоремы Крамера следует, что для заданного координатного столбца элемента-образа эта система линейных уравнений, у которой неизвестными являются компоненты столбца элемента-прообраза, либо будет несовместной (элемент-прообраз не существует), либо будет иметь неединственное решение (элемент-прообраз определяется неоднозначно).

Теорема доказана.