12.Методы решения. Метод множителей лагранжа

Вариационные задачи на условный экстремум можно решать с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, применение которого сводит исходную задачу к задаче на безусловный экстремум.

Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал

при наличии условий

Вместо исходной задачи (12.12), (12.13) составляют исходный функционал

,

где множители Лагранжа, который исследуется на безусловный экстремум. Обозначив

,

составляют систему уравнений Эйлера для нового функционала (12.14)

и дополняют систему (12.15) уравнениями связей (12.13).

Число уравнений (12.13) и (12.15), равное , достаточно для определения неизвестных функций и , а граничные условия и , которые не должны противоречить уравнениям связей, дают возможность определить произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.

Метод множителей Лагранжа применим и в тех случаях, когда уравнения связей являются дифференциальными уравнениями

.

Проиллюстрируем применение метода множителей Лагранжа в частном случае минимизации функционала

при условии

,

Необходимое условие функционала (12.17) определяется равенством нулю его первой вариации

.

Наличие условия (12.17) определяет зависимость между и . Найдём вариацию (12.17), тогда

.

Умножим (12.19) на множитель Лагранжа и проинтегрируем выражение (12.19)

.

Сложим (12.18) и (12.20):

.

Выберем множитель Лагранжа таким образом, чтобы подынтегральное выражение в первых скобках (12.21) было равно нулю. Из этого следует, что произвольной вариации подынтегральное выражение во вторых (12.21) также должно равняться нулю. Тогда имеем уравнения Эйлера – Лагранжа

, ,

где , которые решаются совместно с условиями (12.17).

Рассмотрим пример применения метода множителей Лагранжа. Задано дифференциальное уравнение системы , которое описывает поворот космического аппарата в свободном пространстве под действием управления . Требуется минимизировать функционал

так, чтобы

, ,

, .

Введём обозначение . Тогда дифференциальное уравнение системы примет вид

,

.

Если применить метод множителей Лагранжа, рассматривая в качестве переменной , то задача сводится к минимизации функционала

.

Уравнения Эйлера-Лагранжа для данного примера имеют вид , , .

Решение уравнения Эйлера-Лагранжа совместно с дифференциальными уравнениями системы и с учётом заданных граничных условий определяет оптимальное управление и оптимальные траектории системы в форме

;

;

.

Методом множителей Лагранжа решаются задачи на условный экстремум в форме Лагранжа, Майера, Больца и изопериметрические задачи. В качестве примера рассмотрим применение метода множителей Лагранжа в изопериметрической задаче. Требуется найти экстремум функционала

при условии, что другой функционал

сохраняет заданное значение .

Сведём изопериметрическую задачу к общей задаче Лагранжа. Введя обозначение

,

получим

.

Теперь требуется найти функции и , доставляющие экстремум функционалу (12.22) при условии (12.23). Составляем новый функционал

,

где множитель Лагранжа.

Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (12.24) имеют вид

,

,

где . Из второго уравнения следует

или

.

В изопериметрической задаче множитель Лагранжа является постоянным числом.

Р ешение изопериметрической задачи методом множителей Лагранжа проиллюстрируем на следующем примере. Требуется найти кривую заданной длины , которая соединяет точки и и которая ограничивает совместно с отрезком наибольшую площадь (рис. 12.1). Выберем систему прямоугольных координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через точки и . Тогда площадь, ограниченная искомой кривой , определяется функционалом

.

Необходимо найти функцию , доставляющую максимум функционалу (12.25) при условии

и

.

Будем считать, что

.

Введём множитель Лагранжа и составим новый функционал

.

Первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (12.26) имеет вид

,

где

; постоянная интегрирования.

Из (12.27) следует

,

откуда

.

Уравнение (12.28) представим в виде

.

Интегрирование последнего уравнения даёт в качестве решения уравнение окружности радиуса

.

Постоянные и множитель Лагранжа определяются из условий прохождения окружности через точки и из условия равенства длины окружности между и . Наибольшая площадь ограничивается прямой и частью окружности радиуса , проходящей через точки и .