- •Системы управления химико-технологическими процессами
- •1.1 Основные понятия управления
- •1.2 Характеристика производства
- •1.3 Задачи управления производством
- •2.1 Классификация автоматических систем управления
- •2.1.1 Основные определения
- •2.1.2 Основные типы
- •2.2 Характеристика и методика исследования
- •2.2.1 Математическое описание элементов
- •2.2.2 Частотные характеристики
- •2.2.3. Типовые звенья автоматических
- •2.2.4. Соединение звеньев
- •2.2.5 Устойчивость автоматических систем управления
- •2.2.6 Исследование аналоговых автоматических систем управления
- •2.1. Отимальные значения параметров настройки регуляторов для объектов с самовыравниванием
- •2.3 Нелинейные автоматические системы управления
- •2.4 Дискретные автоматические системы управления
- •2.5 Оптимальные автоматические системы управления
- •2.6 Адаптивные автоматические системы управления
- •Cистемы управления химико-технологическими процессами
2.2.2 Частотные характеристики
Комплексные числа. Комплексным числом называется выражение вида
, (2.28)
где – вещественная часть комплексного числа; – мнимая часть комплекс-ного числа; .
Если , то комплексное число называется чисто мнимым. При ком-плексное число становится вещественным. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости (рис.6).
Рис. 6. Изображение комплексного числа на плоскости
Длина вектора М называется абсолютной величиной комплексного числа, или модулем
. (2.29)
Угол между положительным направлением вещественной оси и вектором называется аргументом, или фазой
. (2.30)
Абсцисса и ордината комплексного числа могут быть выражены так
, (2.31)
. (2.32)
Отсюда
. (2.33)
По формуле Эйлера
. (2.34)
Поэтому
, (2.35)
или
. (2.36)
Операционное исчисление. Операционное исчисление служит для упрощения математических операций при расчётах, в частности при дифференцировании и ин-тегрировании. Решение уравнений операционным методом состоит из трёх этапов: приведение исходных уравнений к операторной форме; решение операторных уравнений; определение решений исходных уравнений по решениям операторных уравнений.
Для получения операторных уравнений, функции, входящие в уравнение, подвер-гаются прямому преобразованию Лапласа в соответствии с выражением
. (2.37)
Функция f(t) вещественного переменного t, подвергаемая прямому преобразо-ванию Лапласа, называется оригиналом, а функция F(p) комплексного перемен-ного p, получаемая в результате преобразования, называется изображением.
Основными свойствами преобразования Лапласа являются:
а) линейность –
если , (2.38)
то ;
б) интегрирование оригинала – (2.39)
т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор p;
в) дифференцирование оригинала – , (2.40)
т.е. дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на оператор p ;
г) дифференцирование n – кратное – ; (2.41)
д) запаздывание в области вещественного переменного –
, (2.42)
т.е. сдвигу в области вещественного переменного на соответствует умножение изображения на .
Далее из операторных уравнений определяется изображение решения поставлен-ной задачи. Чтобы отыскать решение исходных уравнений, необходимо совершить переход от изображения решения к его оригиналу. Этот переход возможен с по-мощью обратного преобразования Лапласа
. (2.43)
При вычислении преобразований Лапласа часто используют специальные табли-цы.
Передаточная функция. Передаточной функцией W(p) динамической систе-мы называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях
. (2.44)
Передаточная функция является одним из способов задания динамических харак-теристик САУ. Она однозначно связана с дифференциальным уравнением системы
. (2.45)
Дифференциальному уравнению (2.45) соответствует передаточная функция вида
(2.46)
при .
Так, дифференциальному уравнению ёмкости (2.23) соответствует передаточная
функция . (2.47)
Передаточная функция связана с весовой функцией соотношением
, (2.48)
т.е. передаточная функция есть изображение весовой функции.
Частотные характеристики. Частотные характеристики описывают установив-шиеся колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на вхо-де. Если на вход звена подать гармоническое воздействие вида
,
то по окончании переходного процесса на выходе звена установятся колебания ви-да
,
т.е. отличающиеся от входных по амплитуде и фазе.
Амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость отно-шения амплитуды гармонических колебаний на выходе к амплитуде колебаний на входе звена от частоты, т.е. зависимость вида А( ).
Фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость разности фаз между выходными и входными гармоническими колебаниями от частоты этих колебаний, т.е. зависимость вида ( ).
АЧХ и ФЧХ можно объединить в одну характеристику – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ)
. (2.49)
Из уравнения (2.49) следует, что модуль АФЧХ представляет собой АЧХ, а аргумент – ФЧХ.
Аналитические выражения для частотных характеристик могут быть получены по передаточной функции. Если в уравнении передаточной функции (2.46) положить , то получим АФЧХ
. (2.50)
После освобождения от мнимости в знаменателе уравнение (2.50) можно запи-сать в виде
. (2.51)
Функция U( ) называется действительной (вещественной) частотной характе-ристикой, а V( ) – мнимой частотной характеристикой. Между частотными харак-теристиками существует связь
(2.52)
; (2.53)
(2.54)
. (2.55)
Если прологарифмировать выражение (2.49), то получим
. (2.56)
Примерный вид частотных характеристик приведён на рис. 7.
Рис.7. Частотные характеристики: а – АФЧХ ; б – ФЧХ ; в – АЧХ.
Зависимость L = 20 lgA от lg называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ), а зависимость от lg – лагарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ).
В качестве единицы измерения L используется децибел, равный 0,1 бела.
Бел – это десятичный логарифм усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответ-ствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз, 3 бела – в 1000 раз и т.д.