Министерство образования и науки Российской Федерации

Агенство по образованию

ГОУ ВПО Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра техники и электрофизики высоких напряжений

Расчётно-графическая работа

по курсу: «Теория вероятностей и математическая статистика»

ВАРИАНТ № **

ФЭН Группа: ЭН1-…….

Студент(ка)___________________________________

Проверил: _____________________________

Цель работы:

Ознакомление с основными задачами, решаемыми методами математической статистики:

1. определением оценок числовых характеристик случайных величин и их систем;

2. оценкой точности и надёжности этих числовых характеристик;

3. проверкой правдоподобия различных гипотез: об объединяемости двух выборок; о подчинении данного статистического материала некоторому закону распределения; о наличии или отсутствии корреляционной связи между случайными величинами;

4. определение коэффициентов линейной регрессии случайных величин X^* и Y^* и оценкой её статистической значимости;

Задание на работу:

Заданы выборки случайных величин X^* и Y^*:

Таблица 1

Исходные данные

X*	63.04	62.73	68.03	55.35	57.91	71.61	56.69	66.63	61.32	68.82
	67.30	69.80	64.57	65.50	59.90	56.89	55.86	70.14	58.50	64.77
Y*	65.31	59.42	59.05	59.08	60.76	66.29	61.89	60.54	58.75	64.59
	71.43	63.63	75.07	65.71	71.72	64.31	55.75	65.48	55.73	50.04

1. Определить оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратических отклонений случайных величин X^* и Y^*.

2. Проверить правдоподобие гипотезы о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности с помощью порядкового критерия Вилькоксона, критериев равенства математических ожиданий и дисперсий двух выборок. Определить уровни значимости, с которыми проверяемая гипотеза не противоречит заданному статистическому материалу.

3. Если гипотеза о принадлежности выборок X^* и Y^* единой генеральной совокупности Z правдоподобна, то следует определить точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения генеральной совокупности Z на основе объединённой выборки Z^* объёмом n_z=nx+n_y.

4. Найти интервальные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения единой генеральной совокупности Z на основе объединённой выборки Z^* при доверительной вероятности P_Д=0.95.

5. Проверить гипотезу о нормальности закона распределения, которому подчинена генеральная совокупность Z^* по критериям Пирсона (χ²) и Мизеса (nω²). Определить уровни значимости, с которыми гипотеза о нормальности закона распределения генеральной совокупности Z^* не противоречит располагаемому статистическому материалу. Построить гистограмму по данным выборки Z^* и гипотетическую плотность распределения случайной величины Z.

6. Рассматривая X^* и Y^* как выборки случайных величин, входящих в систему, построить корреляционную таблицу, на основе которой определить , , , , а также оценки корреляционного момента K_xy (K^*_xy) и коэффициента корреляции r_xy (ρ_xy).

7. Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи между величинами X и Y и определить уровень значимости правдоподобия этой гипотезы.

8. Если гипотеза об отсутствии корреляционной связи между величинами X и Y противоречит располагаемому статистическому материалу, то следует определить доверительный интервал для коэффициента корреляции при доверительной вероятности P_Д=0.95.

9. Определить коэффициенты линейной регрессии Y^* на X^* и оценить с помощью критерия Фишера статистическую значимость полученной регрессии.

1. Определение статистических оценок числовых характеристик случайных величин.

Оценки математических ожиданий и дисперсий генеральных совокупностей величин X и Y могут быть определены по выражениям (1.1) и (1.2) соответственно.

, (1.1)

, (1.2)

где - объём выборки из генеральной совокупности X.

В нашем случае и числовые характеристики оказываются равными: ; ; ; .

2. Проверка правдоподобия гипотезы о принадлежности заданных выборок единой генеральной совокупности

2.1. Порядковый критерий Вилькоксона

В дальнейшем, гипотезу о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности будем называть нулевой гипотезой.

Порядковый критерий Вилькоксона основан на определении степени «перемешанности» единого вариационного ряда для двух выборок.

Алгоритм расчёта уровня статистической значимости нулевой гипотезы c помощью порядкового критерия Вилькоксона:

1. Составляем единый вариационный ряд (ряд по признаку возрастания реализаций СВ Х и Y)

y	x	y	y	x	x	x	x	x	y
50.04	55.35	55.73	55.75	55.86	56.69	56.89	57.91	58.5	58.75
y	y	y	x	y	y	x	y	x	x
59.05	59.08	59.42	59.9	60.54	60.76	61.32	61.89	62.73	63.04
y	y	x	y	x	y	y	x	y	y
63.63	64.31	64.57	64.59	64.77	65.31	65.48	65.5	65.71	66.29
x	x	x	x	x	x	y	x	y	y
66.63	67.3	68.03	68.82	69.8	70.14	71.43	71.61	71.72	75.07

2. Определение числа инверсий

, .

Проверка: И _X–Y + И _Y–X = 400; И _X–Y + И _Y–X = n_X · n_Y = 400.

3. Определение уровня значимости гипотезы по критерию Вилькоксона с параметрами

, (2.1)

, (2.1)

. (2.3)

2.2. Критерий равенства математических ожиданий.

. (2.4)

Случайная величина Z распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда:

. (2.5)

2.3. Критерий равенства дисперсий (критерий Р. Фишера).

В рассматриваемом случае S_Y>S_X. Поэтому критерий равенства дисперсий (критерий Р. Фишера) принимает следующий вид

. (2.6)

Уровень значимости гипотезы будет

. (2.7)

4. Вывод по пунктам 2.1, 2.2 и 2.3

Гипотеза о принадлежности выборок X и Y единой генеральной совокупности не противоречит располагаемому статистическому материалу с уровнями значимости:

• По критерию Вилькоксона – q=0.7455,

• По критерию равенства математических ожиданий (критерий Z) – q=0.7601,

• По критерию равенства дисперсий (критерий F) – q=0.5734.

3. Определение статистических оценок числовых характеристик единой генеральной совокупности Z.

(3.1)

4. Определение интервальных оценок числовых характеристик единой генеральной совокупности Z.

=>

С вероятностью 0.95 математическое ожидание единой генеральной совокупности Z принадлежит интервалу .

.

С вероятностью 0.95 дисперсия единой генеральной совокупности Z принадлежит интервалу .

Следовательно, интервалы составляют:

,

5. Проверка правдоподобия гипотезы о нормальности закона распределения единой генеральной совокупности.

5.1. Критерий Пирсона (критерий – χ²).

Разбиваем весь диапазон объединённой выборки Z на 6 интервалов, при этом .

Результаты предварительных вычислений при применении критерия Пирсона представлены в таблице 5.1

Таблица 5.1