Тема 8. Анализ таблиц взаимной сопряженности

Разделы темы:

1. Условия использования таблиц взаимной сопряженности (непараметрические методы).

2. Оценка тесноты связи и порядок расчета коэффициентов Фехнера, Спирмена, Кендела.

3. Оценка тесноты связи между альтернативными признаками.

1. ЧТО ПРДЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ТАБЛИЦА ВЗВАИМНОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ ПРИЗНАКОВ?

Таблица взаимной сопряженности признаков

- табличное представление совместного распределения двух качественных признаков, т.е. величин частот или частостей наблюдений, обладающих одновременно S –м значением одного и t –м значением другого признака (S = 1, ….., m₁, t = 1, ......., m₂).

8.2 В КАКИХ СЛУЧАЯХ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ (НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ)

1. П

   Условия использования таблиц сопряженности

   ри определении интенсивности связи между качественными признаками.

2. При изучении степени тесноты связи между количественными признаками, форма распределения которых отличается от нормальной.

3. ЧТО ПОЛОЖЕНО В ОСНОВУ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ?

-

Условия использования таблиц сопряженности

в основу положен принцип нумерации значений статистического ряда. Каждой единице совокупности присваивается порядковый номер в ряду, который будет упорядочен по уровню признака. Ряд значений признака ранжируется, а номер каждой отдельной единицы будет ее рангом.

Для выявления связи между признаками, ранги индивидуальных значений факторного признака располагают в порядке возрастания, и если ранги результативного признака обнаруживают тенденцию к увеличению, можно предполагать наличие прямой связи. Если с увеличением рангов факторного признака ранги результативного признака уменьшаются, то это свидетельствует о наличии обратной связи.

3. КАКИЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ТЕСНОТЫ СВЯЗИ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ?

-

Коэффициент Фехнера (Кф)

(коэффициент корреляции знаков)

простейший показатель степени тесноты связи.

Определяется по формуле:

где С – число случаев совпадения знаков отклонений от средней;

Н – число случаев несовпадения этих знаков.

При Кф = 0 – связь отсутствует, чем ближе Кф к единице, тем связь является более тесной.

-

Коэффициент Спирмена (Кс) (коэффициент корреляции рангов)

определяется по формуле

; 6

где d – разность между рангами по Х и У;

Х – число единиц в ряду.

Пример 8.1

Необходимо установить наличие связи между уровнем механизации труда и трудоемкостью изготовления единицы продукции.

Таблица 8.1

Исходные данные к расчету коэффициентов Фехнера и Спирмена

№ завода	Уровень автома-тизации, %	Трудо-емкость, чел-мин	Знак отклонения		Совп-адение,Несовп.	Ранги		d	d2
			От Х	От У		По Х	По У
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	60 61 62 63 64 65 66 67 68 69	14 12 13 15 14 12 10 13 8 7	- - - - - + + + + +	+ + + + + + - + - -	Н Н Н Н Н С Н С Н Н	10 9 8 7 6 5 4 3 2 1	2,5 6,5 4,5 1,0 2,5 6,5 8,0 4,5 9,0 10	7,5 2,5 3,5 6,0 3,5 -1,5 -4 -1,5 -7 -9	56,25 6,25 12,25 36,0 12,25 2,25 16 2,25 49 81

= 64,5; = 11,8

- коэффициент корреляции рангов (Спирмена)

Вывод: Доказана обратная связь между уровнями механизации труда и трудоемкостью изготовления единицы продукции.

Коэффициент корреляции рангов Кендела

- определяется по формуле:

где S = P + Q

При определении слагаемого Р нужно установить, сколько чисел, находящихся справа от каждого из элементов последовательности рангов переменной У , имеют величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента.

Слагаемое Q характеризует степень несоответствия последовательности рангов переменной Х . Для его определения подсчитывают число чисел, находящихся справа от каждого, из членов последовательности рангов переменной У , имеющих ранг меньше, чем эта единица. Величины берутся со знаком минус.

Пример 8.2

По данным примера 8.1 рассчитаем коэффициент Кендела

Р = (0 + 0 + 3 + 0 + 0 + 1 + 3 + 1 + 0) = 8

Q = (- 9 – 8 – 3 – 6 – 4 – 1 – 0 – 1 – 1) = - 33

S = (8 - 33) = - 25

8.5 КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СУЩЕСТВЕННОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ КЕНДЕЛА?

Проверка существенности коэффициента Кендела

- осуществляется при уровне значимости а по формуле:

где t_a - коэффициент, определяемый по таблице нормального распределения для выбранного уровня значимости а при больших n.

6. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ТЕСНОТА СВЯЗИ МЕЖДУ НЕСКОЛЬКИМИ ПРИЗНАКАМИ?

-

Коэффициент конкордации

К_КК

применяется для оценки степени тесноты связи между несколькими признаками при использовании ранговой корреляции

где m – число факторов;

n – число ранжируемых единиц;

S – сумма квадратов отклонений рангов.

8.7 В КАКИХ СЛУЧАЯХ И КАК РАССЧИТЫВАЕТСЯ КОЭФФИЦИЕНТ АССОЦИАЦИИ И КОНТИНГЕНЦИИ?

-

Коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции

применяются для определения степени связи между двумя признаками, вариации которых носят альтернативный характер.

Для расчета коэффициентов строится четырехклеточная корреляционная таблица:

а	b	a+b
c	d	c+d
a+c	b+d	a+b+c+d

Расчет коэффициента ассоциации (А) проводится по формуле:

Если А ≥ 0,5 связь подтверждается.

Коэффициент контингенции (К_Кон):

Если К_Кон ≥ 0,3, то это свидетельствует о наличии связи между качественными признаками.

8.8 КАК РАССЧИТЫВАЮТСЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЗАИМНОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ К.ПИРСОНА И А.А ЧУПРОВА

-

Коэффициент взаимной сопряженности К.Пирсона

рассчитывается по формуле:

-

Коэффициент взаимной сопряженности А.А.Чупрова

рассчитывается по формуле:

где х² – критерий «хи-квадрат»;

п – общее число наблюдений;

К₁ – число групп по результативному признаку;

К₂ – число групп по факторному признаку.

Критерий «хи-квадрат» ( )

- используется для установления тесноты связи между качественными показателями с большим числом градаций.

где - соответственно эмпирические и теоретические частоты в і-ой строке j-го столбца;

К₁, К_{2 –} соответственно число групп в строках и столбцах таблиц.

Пример 8.3

По данным, представленным в таблице, рассчитать коэффициенты сопряженности.

Таблица 8.2

Зависимость качества продукции от уровня механизации

Степень годности	Уровень механизации			Итого
	Частично механизировано	Механизировано	Автоматизировано
Соответствует стандарту	7(7,1)	8(9,4)	10(8,5)	25
Исправимый	3(3,4)	7(4,5)	1(4,1)	12
Неисправимый	5(4,5)	5(6)	7(5,5)	16
ИТОГО	15	20	18	53

Число степеней свободы: К = (3-1)^.(3-1) = 4

При уровне значимости 0,05 х² при К = 4 составляет 9,5, т.е. < , следовательно можно предположить, что в данной совокупности зависимости качества продукции от уровня механизации производственных процессов не наблюдается.

Вывод: Зависимость между случайными признаками существует, но степень тесноты связи невелика.