- •Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Этап 1. Отделение корней
- •Аналитический способ отделения корней.
- •Рекуррентная формула для вычисления последовательных приближений
- •Упрощенный вариант метода
- •Оценка погрешности приближения
- •Оценка погрешности приближения
- •Метод итераций
- •Оценка погрешности приближения
- •Постановка задачи ( общая формулировка )
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа № 2 Решение систем линейных уравнений
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Метод Крамера
- •Метод Гаусса
- •Прямой ход
- •Обратный ход
- •Контроль вычислений
- •Текущий контроль (контроль прямого хода).
- •Заключительный контроль (контроль обратного хода).
- •Применение метода Гаусса для вычисления определителей
- •Применение метода Гаусса для обращения матриц
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод Гаусса–Жордана
- •Метод простых итераций
- •Преобразование слу к итерационному виду
- •Оценка погрешности приближений
- •Метод Зейделя
- •Постановка задачи
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •1. Изучение
- •Основные понятия
- •Случаи применения интерполяции
- •Теорема существования и единственности интерполяционного полинома
- •Интерполяционные полиномы Ньютона
- •Конечные разности
- •Разделенные разности
- •2. Т.К. В формуле присутствуют , , , ••• , то она удобна для интерполяции в начале таблицы и не используется в конце.
- •Разделенные разности:
- •И ; . Нтерполяционный полином Лагранжа
- •Экстраполяция
- •Обратная интерполяция
- •Оценка погрешности приближения функции интерполяционным полиномом
- •Рассмотрим вспомогательную функцию
- •По теореме Ролля
- •Практическая оценка погрешности
- •Если ,
- •Постановка задачи Функция заданна таблично
- •Варианты заданий
- •Содержание отчета
- •Вопросы и задания для самоконтроля
Интерполяционные полиномы Ньютона
Предварительная информация
Конечные разности
- заданная функция ;
, где - шаг интерполяции ;
, где - конечная разность функции .
- 1-го порядка ,
•
•
•
- 2-го порядка ,
•
•
•
•
•
• и т.д.
Пример. Построить конечные разности для функции при шаге .
•
•
•
.
Диагональная таблица разностей (табл. 3.1) :
Таблица 3.1
При работе с переменным шагом используются
Разделенные разности
1-го порядка ,
•
•
•
2-го порядка ,
•
•
•
•
•
• и т. д.
Построение полинома
Выразим через .
•
•
•
Т.к. , то справедлива следующая запись:
1-я интерполяционная формула Ньютона ( для интерполяции вперед )
(3.1)
Рассмотрим частный случай.
Постоянный шаг интерполяции (равноотстоящие узлы)
,
где q – число шагов .
Связь разделенных разностей с конечными:
,
,
•
•
•
Вид полинома после замены разностей:
.
Т.к. ,
1 ,
•
•
•
, то окончательно :
. (3.2)
Замечания. 1. Количество узлов (i = 0,1,…,n) определяет вид интерполяции .
(Если n = 1 – линейная; n = 2,3,… - параболическая).
2. Т.К. В формуле присутствуют , , , ••• , то она удобна для интерполяции в начале таблицы и не используется в конце.
Пример 1. Функция заданна таблично(табл. 3.2). Необходимо найти f (2,1).
Таблица 3.2
-
Т. к.
x = 2,1 ;
2 ;
h = 1 , то .
y = y0 + qy0
.
0
5,2
2,8
1
8,0
-0,4
2,4
2
10,4
-0,4
2
3
12,4
-0,4
1,6
4
14,0
Пример 2. Построить аналитическое выражение по эмпирическим данным (табл. 3.2).
Если , , то ;
;
y = 5,2 + x2,8+ x( x-1) ;
.
При интерполяции в конце таблицы используется другая формула .
Для ее построения необходимо:
началом отсчета q выбрать ,
2) использовать разности , , , …. (см. табл.3.3).
Таблица 3.3
-
y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•