- •1.Матрица размеров m на n.
- •2. Определитель квадратной матрицы первого и n-ого порядка
- •3. Обратная матрица.
- •4. Система линейных уравнений. Решение системы. Совместность и несовместность системы. Матричный способ решения системы n линейных уравнений с n переменными. Теорема Краммера.
- •Матричная форма
- •Прямые методы
- •8.Длина и направляющие косинусы вектора, связь между направляющими косинусами. Орт вектора. Координаты сумма векторов, произведение вектора на число.
- •9.Выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.
- •13.Линейное (векторное) пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Параметрические уравнения прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •16.Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до данной прямой.
- •Уравнение прямой в отрезках
- •17. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Геометрические свойства и построение эллипса. Специальные термины.
- •Каноническое уравнение
- •Построение: 1)с помощью циркуля
- •18.Гипербола. Канонические уравнения гипербол. Геометрические свойства и построение гиперболы. Специальные термины
- •Соотношения
- •Канонический вид
- •Свойства
- •19. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Геометрические свойства и построение параболы. Специальные термины.
Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где t — производный параметр, ax, ay — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом
Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
Вывод
где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.
15.Нормальный вектор прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.
- уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой.
Уравнение прямой вида y=kx+b
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом y=kx+b
угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:
.
Взаимное расположение:
Пусть и
– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда
1) если , то прямые и совпадают;
2) если , то прямые и параллельные;
3) если , то прямые пересекаются.
Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:
. Поэтому, если , то и прямые пересекаются.
Если же , то , , и уравнение прямой принимает вид:
или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.
Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.
16.Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до данной прямой.
Расстояние от точки до прямой
Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .
Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.