1.Матрица размеров m на n.
Матрицей размера m на n называется совокупность mn вещественных чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.Треугольная — квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
Свойства умножения матриц на число
1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
Свойства сложения матриц
5.коммутативность ) a+b=b+a
6.ассоциативность
.
7.сложение с нулевой матрицей;
8.существование противоположной матрицы (то же самое но везде минусы перед каждым числом)
Умножение матриц — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество
столбцов в матрице A должно
совпадать с количеством строк в
матрице B.
Если матрица A имеет
размерность 
, B — 
,
то размерность их произведения AB = C есть 
.
Свойства умножения матриц
1.ассоциативность;(см. выше)
2.произведение не коммутативно;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;
4.справедливость дистрибутивного закона; А*(В+С)=А*В+А*С.
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
2. Определитель квадратной матрицы первого и n-ого порядка
Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно
Определение через разложение по первой строке
Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:
Для
матрицы 
детерминант
определяется как
Для
матрицы 
определитель
задаётся рекурсивно:
,
где 
— дополнительный
минор к
элементу a1j.
Эта формула называется разложением
по строке.
В
частности, формула вычисления определителя
матрицы 
такова:
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Свойства определителей
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Св ва
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
