2. Параметрическое уравнение аффинного множества
□ Теорема 2.15. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. Уравнение
(3)
является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку параллельно линейно независимым векторам .
Необходимость. Если (3) – уравнение аффинного множества , то . Отсюда следует, множество проходит через точку параллельно векторам (следствие из теоремы 2.12).
Так
как
(теорема
2.13), то система векторов
линейно независима.
Достаточность.
Докажем
совпадение аффинного множества
и множества решений уравнения (3), т.е.
совпадения множеств
и
.
Эти множества имеют общую точку
.
Докажем совпадение направляющих
подпространств этих аффинных множеств.
По
условию теоремы линейно независимые
векторы
принадлежат подпространству
и
.
Теперь из теоремы 1.8 вытекает, что
векторы
базис
подпространства
и, значит,
.
Далее, из теоремы 2.12 получаем, что
.
Итак,
и из теоремы 2.9 следует совпадание
множеств
и
.■
Уравнение
где
линейно независимая система векторов,
называется параметрическим
уравнением аффинного
множества
размерности
.
Числа
называются параметрами.
◊ Замечание. В параметрическом уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .
Действительно,
так как
,
то из теоремы 1.8 следует, что система
векторов
базис подпространства
.♦
Запишем
параметрическое уравнение в координатной
форме. Для этого введем координаты точек
и векторов:
Приведем алгоритм построения параметрического уравнения аффинного множества .
1.Задайте аффинное множество.
2.Найдите точку , принадлежащую аффинному множеству , и базис направляющего подпространства .
3.Напишите параметрическое уравнение аффинного множества :
○ Примеры
1. Является ли уравнение
параметрическим уравнением аффинного множества
где
,
,
?
Решение.
Из
теоремы 2.15 следует, что данное уравнение
будет параметрическим уравнением
аффинного множества
,
если
,
оно проходит через точку
параллельно линейно независимым
векторам
.
Координаты
точки
являются решением системы уравнений,
т.е.
.
Координаты векторов
решения
системы уравнений
и,
значит, векторы
принадлежат подпространству
,
т.е. множество
параллельно векторам
.
Так как
и векторы
линейно независимые, то
параметрическое
уравнение множества
.
2.
Дано аффинное множество
,
где
,
,
.
Напишите параметрическое уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и
а)
содержит точку
,
б)
вектор
параллелен аффинному множеству
.
Решение.
а) Заметим, что линейно независимые векторы. Теперь выясним, принадлежит ли точка аффинному множеству . Точка будет принадлежать множеству , если векторное уравнение
имеет
решение или, на другом языке, вектор
разлагается по векторам
.Проверка
показывает, что вектор
не разлагается по векторам
.
Отсюда следует, что точка
и что
,
линейно
независимая система векторов.
Полагаем
.
Множество
является аффинным, содержит точку
,
,
множество
,
имеет размерность, равную трем (теорема
2.13), и уравнение
является параметрическим уравнением множества .
б)
Вектор
не разлагается по линейно независимой
системе векторов
,
а поэтому
линейно независимые векторы. Пусть
,
т.е.
множество решений уравнения
.
(4)
Аффинное множество содержит множество , имеет размерность, равную трем (теорема 2.13), вектор параллелен множеству (теорема 2.12). Уравнение (4) параметрическое уравнение множества .●
Задачи
1. Доказать, что уравнение будет параметрическим уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда точка и базис подпространства .
2..Дано
аффинное множество
,
которое содержит точку
(2,3,1,1)
и направляющее подпространство
которого задается системой уравнений:
Найти параметрическое уравнение аффинного множества .
3. Аффинное множество совпадает с множеством решений системы линейных уравнений
Написать параметрическое уравнение аффинного множества .
4.
Написать параметрическое уравнение
аффинного множества, которое содержит
точки
и имеет размерность, равную двум.
5.
Аффинное множество
задано системой уравнений
Напишите параметрическое уравнения аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и
а) содержит точку М(1,2,−3,4,0);
б) вектор = (1,−2,5,−1,3) параллелен множеству .
6. Доказать, что если уравнение аффинного множества , то общее решение системы уравнений в векторной форме параметрическое уравнение множества .