1. Направляющее подпространство множества
решений системы уравнений
□ Теорема
2.10. Если
– множество решений совместной системы
линейных уравнений
,
то
совпадает с множеством решений однородной
системы уравнений
.
Доказательство.
Обозначим через
подпространство решений системы
уравнений
и покажем, что
.
Так как система уравнений совместна, то во множестве есть точка , для которой . Теперь совпадение множеств и вытекает из следствия к лемме о параллельном векторе и следующей цепочки равносильных утверждений:
■
2. Направляющее подпространство аффинной оболочки
□Теорема
2.11. Направляющее
подпространство аффинной оболочки
совпадает с
линейной оболочкой, порожденной системой
векторов
,…,
,
т.е.
=
,…,
Доказательство.
Совпадение множеств
и
вытекает из следствия к лемме о
параллельном векторе и следующей цепочки
равносильных утверждений:
.
■
3. Направляющее подпространство
аффинного множества
Выясним,
как устроено подпространство
в случае аффинного множества
□Теорема
2.12. Направляющее
подпространство
аффинного множества
совпадает с подпространством
Доказательство. Совпадение подпространств L и вытекает из следствия к лемме о параллельном векторе и следующей цепочки равносильных утверждений:
.
■
◊ Следствие.
Аффинное
множество
проходит через точку
параллельно векторам
.
Доказательство.
Из теоремы 2.12 следует, что векторы
принадлежат подпространству
и, значит, параллельны множеству
.
В 2.3.3 доказано, что точка
.♦
○Пример
Содержится
ли аффинное множество
,
,
в аффинном множестве
решений системы уравнений
Решение.
Аффинное
множество
будет
содержаться в аффинном множестве
,
если они имеют общую точку и
(теорема
2.9). Подстановка координат точки
в систему уравнений вместо неизвестных
приводит к верным числовым равенствам,
т.е.
.
Далее, из теорем 2.10 и 2.12 следует, что
подпространство
,
а подпространство
задается системой уравнений
Координаты
векторов
и
решения однородной системы уравнений,
т.е. векторы
и
принадлежат подпространству
.
Теперь из следствия к теореме 1.2 следует,
что
.
Наконец, из теоремы 2.9 вытекает
.●
Задачи
1.Даны два аффинных множества и , причем . Доказать, что если множество содержит точку, которая не принадлежит множеству , то множества и не имеют общих точек.
2. Доказать, что множество решений системы линейных уравнений совпадает с аффинным множеством если выполняются следующие два условия:
имеется решением системы уравнений
,
которое принадлежит множеству
;
множество решений системы уравнений
совпадает с направляющим подпространством
аффинного множества
3..Аффинное
множество
содержит точки
и содержится в каждом аффинном множестве,
содержащем точки
.
Доказать, что
4.Даны
аффинные оболочки
и
.
Задать наименьшее аффинное множество,
содержащее и
,
и
.
5.
Векторы базиса
направляющего подпространства
отложены от точки
аффинного множества
:
.
Доказать, что
.
6.
Точка
принадлежит аффинному множеству
,
и система векторов
базис подпространства
.
Доказать, что
.
7.Доказать,
что аффинное множество
содержит аффинные множества
и
8.
Даны аффинные множества
,
и
,
и известно, что
,
.
Доказать, что
где
и
направляющие
подпространства соответственно аффинных
множеств
и
9.Доказать, что аффинное множество содержится в каждом аффинном множестве , содержащем и