2.5. Размерность аффинного множества
Размерностью
аффинного множества
называется число, равное размерности
его направляющего подпространства
.
Размерность аффинного множества
будем обозначать символом
..
Тогда
.
Найдем размерности аффинных множеств, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе.
□ Теорема 2.13. Справедливы следующие утверждения:
1.
размерность
аффинного множества
решений системы линейных уравнений
равна
,
где
– число неизвестных в системе уравнений,
а
– ранг матрицы
2.
;
3.
.
Доказательство.
1)
В рассматриваемом случае
совпадает с подпространством решений
однородной системы линейных уравнений
(теорема
2.10). Размерность этого подпространства
равна
.
2)
Направляющим подпространством аффинной
оболочки
является подпространство
(теорема 2.11). Следовательно,
=
=
=
.
3)
Из
теоремы 2.12 вытекает, что направляющим
подпространством
аффинного
множества
является подпространство
а поэтому
■
Введенное определение размерности аффинного множества позволяет доказать еще одну полезную теорему о совпадении двух аффинных множеств.
□ Теорема 2.14. Аффинные множества и совпадают тогда и только тогда, когда и dim = dim .
Доказательство. Используя первое и второе утверждения теоремы 2.9 и теорему 1.9,имеем цепочку следующих равносильных утверждений:
=
,
,
dim
=dim
, dim = dim .■
Задачи
1.Выяснить, совпадает ли аффинное множество решений системы линейных уравнений,
,
с
аффинной оболочкой точек
,
,
,
.
2.Даны
два аффинных множества
и
.
Доказать следующие утверждения:
а)
,
если A
=
,
i=1,…,k;
б)
A
=
,
i=1,…,k
и
где
– число
неизвестных в системе уравнений
,
– ранг матрицы
.
3.Доказать,
что если аффинное множество
имеет размерность
1
,
то оно содержит аффинное множество,
размерность которого равна
4.Даны
точки
,
,
.
Задать аффинное множество, которое
содержит эти точки и размерность которого
равна а) двум; б) трём.
5.Найти необходимое и достаточное условие, чтобы точки содержались в -мерном аффинном множестве.
6.
Даны аффинные множества
и
,
размерности которых равны соответственно
и
.
Доказать, что можно построить аффинное
множество
,
которое содержит
и
,
и
,
=
k+l+1,
если
и
не имеют общих точек и
.
2.6. Уравнения аффинного множества
1. Уравнение фигуры
Геометрической
фигурой
или
просто фигурой
в
пространстве
будем называть множество точек этого
пространства. Задать фигуру –
значит
указать, из каких точек пространства
она состоит. Примером фигуры является
аффинное множество. Одним из способов
задания фигуры в пространстве
является ее задание при помощи уравнения
с n
неизвестными. Произвольное уравнение
с n
неизвестными будем записывать в виде
.
Уравнение называется уравнением фигуры Ф при выполнении следующих двух условий:
если точка
принадлежит
фигуре Ф, то координаты точки М
являются решением уравнения
,
т.е.
–
верное числовое равенство;если же чисел
являются
решением уравнения
,
то точка
,
координатами которой служат числа
,
принадлежит фигуре Ф.
Это
определение в более компактной форме
выглядит следующим образом. Уравнение
называется уравнением
фигуры
,
если
решение
уравнения
.
Из
определения уравнения фигуры следует,
что фигура
состоит только из тех точек пространства
,
координаты которых являются решениями
уравнения
,
т.е. Ф
является
множеством решений уравнения
и, значит, уравнение
фигуры задает эту фигуру.
Отсюда следует, что если
уравнение некоторой фигуры, то
равносильное ему уравнение также будет
уравнением той же самой фигуры.
В дальнейшем будет дана фигура , и надо будет найти уравнение этой фигуры. Для решения этой задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно
1) задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2) записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
○ Примеры
1.
Уравнение
окружности в пространстве
.
Окружность Ф с центром в точке
и радиусом R
задается
условием
где
расстояние
между точками
и
.
Пусть
точки
и
имеют соответственно координаты
и
.
Тогда вышеприведенное условие в
координатах имеет вид
.
Это уравнение является уравнением окружности Ф. Возведем обе его части в квадрат и получим равносильное уравнение, которое называется каноническим уравнением окружности,
.
2.
Уравнение
сферы в пространстве
.
Сфера
с центром в точке
и радиусом
задается условием
Если
координаты центра
,
а
координаты произвольной точки сферы,
то вышеприведенное условие в координатах
имеет вид
Это уравнение является уравнением сферы в пространстве . Возведя его в квадрат, получим равносильное уравнение, которое называется каноническим уравнением сферы
3. Уравнение
является уравнением аффинного множества .
Это утверждение вытекает из определения множества .