4.2. Исследование статической устойчивости методом малых колебаний.

В отличие от оценки статической устойчивости по практическим критериям суть этого метода заключается в исследовании уравнений движения, записанных в виде уравнений малых отклонений.

При установлении простейших условий статической устойчивости (практических критериев) ответ получается только в форме «да - нет», «уйдёт – не уйдёт» режим изначального состояния при малом возмущении системы. При установлении критериев устойчивости, основанных на исследовании уравнений движения – уравнений малых колебаний (малых отклонений), физическая природа происходящих явлений выясняется более полно: устанавливается в любом случае (устойчивость, неустойчивость) характер движения (апериодическое, колебательное – затухающее или нарастающее).

Электрическая система при изучении переходных процессов описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

Σ(А_ijd²х_i/dt²+B_ijdx_i+C_ij)=F_j(t).

Коэффициенты А, В и С – действительные. Они определяются параметрами системы и нелинейными функциями Ф(х_i) от переменных Х_i, характеризующих состояние системы в каждый момент времени; F_j – внешние (возмущающие) силы, переменные во времени, отражающие изменение внешних условий системы.

При F_j(t)=F_j0 система имеет решение

X_i(t)=x_i0;

Dx_i/dt=0;

D²x_i/dt²=0;

ΣC_ijx_i0=F_j0.

Это решение соответствует состоянию равновесия, т.е. определяет параметры установившегося режима электрической системы. При изучении статической устойчивости рассматриваются переходные процессы при условии малости отклонения всех переменных и внешних сил от состояния равновесия. Математически это условие записывается так:

F_j (t) – F_j0=f_j(t);

X_i(t) – x_j0=∆x_i;

Dx_i/dt=d∆x₁/dt;

D²x_i/dt²=d²∆x_i/dt².

Нелинейные функции Ф(x_i), входящие в коэффициенты исходной системы уравнений, линеаризуется в точке, соответствующей состоянию равновесия. Эта процедура заключается в разложении нелинейной функции в ряд Тейлора, оставляет только линейные члены этого ряда.

Приведя линеаризацию по первому приближению, перейдём от системы нелинейных дифференциальных уравнений к системе линеаризованной – линейной. Решение таких систем уравнений с помощью так называемого характеристического уравнения известно из математики.

Будем далее пользоваться им, изучая процессы при действии внешних сил, меняющихся во времени:

Σ(а_ijd²x_i/dt²+b_ijdx_i/dt+c_ij∆x_i)=f_j(t).

Коэффициенты a,b,c включают в себя частные производные (ðФ/ðх_ixi0), взятые в точке исходного режима.

С помощью линеаризованных уравнений изучаются переходные процессы:

- вынужденные, при действии внешней – возмущающей силы;

- свободные, после возникновения начальных отклонений и исчезновения внешней силы, вызвавшей эти отклонения.

В первом случае при f_j(t)≠0 ротор под действием заданной, например малой синусоидальной возмущающей, постоянно действующей силы совершает малые колебания.

Во втором случае ротор генератора, получивший под действием какой-то (не фиксированной) внешней (возмущающей) силы отклонение от положения равновесия, т.е. от угла δ₀ на ∆δ, будучи предоставлен действию только внутренних сил, будет совершать те или иные движения, «возвращаясь» или «уходя» от положения равновесия δ₀. При заданной внешней возмущающей силе f_j(t) ≠0 условия статической устойчивости отличаются от условий динамической устойчивости малостью, которая настолько мала, что процесс практически не зависит от её значения и места приложения f_j(t). Это обстоятельство отражено в решении линеаризованного уравнения, из характеристического уравнения которого влияние значения возмущения и места приложения его, реально существующие, - в силу сделанных допущений исчезли.

Оценка устойчивости нелинейной системы возможна по виду корней линеаризованных уравнений. Это было обосновано известным русским математиком А.М. Ляпуновым. Им был предложен (1893) так называемый метод первого приближения, предназначенный для обоснованного исследования тех линейных (линеаризованных) уравнений движения системы, которые получаются после разложения в ряд линейной функции, Находящейся в правой части исходного уравнения. Для теоремы Ляпунова дали строгое обоснование уравнений первого приближения.

Теорема 1 утверждает, что при характеристическом уравнении первого приближения, имеющем корни только с отрицательными вещественными частями, невозмущённое движение устойчиво, и при том асимптотически, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Теорема 2 утверждает, что если в числе корней характеристического уравнения первого приближения имеются корни, вещественные части которых положительны, то невозмущённое движение неустойчиво, каковы бы ни были нелинейные функции в правой части исходного уравнения.

Случай, когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеет хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, является особым случаем. В особых случаях по корням характеристического уравнения линеаризованной системы нельзя сделать заключение об устойчивости исходной системы. Для получения такого заключения необходимы дополнительные исследования вида нелинейной функции.