Основные законы распределения наработки на отказ

В теории надёжности рассматривается несколько законов распределения наработки до отказа. Эти законы с разной степенью точности описывают надёжностное поведение различных систем и в соответствии с этим находят своё применение. Используются следующие законы:

1. Экспоненциальное распределение

2. Нормальное распределение (полное и усеченное)

3. Распределение Вейбул-Гнеденко

Экспоненциальное распределение

Оно получило наибольшее распространение в силу простоты описывающих выражений. Оно однопараметрическое. Это распределение хорошо описывает поведение электронных систем

λ – параметр этого распределения

Плотность распределения

Функция надёжности

В привязке ко времени наработки до конкретного срока вероятность безотказной работы и вероятность отказа

Средняя наработка на отказ т.е. является обратной величиной параметра экспоненциального распределения λ.

Дисперсия наработки до отказа

Т.обр. интенсивность отказа в этом распределении является постоянной величиной численно равной параметру распределения λ и обратно пропорциональный τ – времени средней наработки на отказ.

Графики изменении показателя надёжности выглядят след образом

При λ(t)<<1, т.е. при времени наработки много меньшим, чем среднее время наработки до отказа τ выше приведённое выражение можно упростить заменив его первыми 2мя членами разложения этого выражения в ряд и

Отметим характерное свойство присущее только экспоненциальному распределению, вероятность безотказной работы системы в интервале P(t1,t2) (при условии что до времени t1 система , вероятность на этом интервале не зависит от времени t1, т.е. не зависит от возраста системы.

Т.к. для экспоненциального распределения характерно постоянство интенсивности отказов λ, то область применения этого закона системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, ни период физического износа и старения. Так же практикой показано, что этот закон хорошо описывает время безотказной работы сложных систем с большим количеством разнородных элементов.

Наработка системы до отказа описывается λ=1*10^-4, Р(t1), f(t) - ? t1=2000ч , τ-?

Нормальное распределение

Оно используется в тех случаях, когда необходимо учесть начальную приработку системы, а так же её старение и износ, поэтому этот закон используют при описании механических и электромеханических систем.

В нормальном распределении функция распределения и плотность функции распределения описываются формулами

Где сигма и ф параметры норм распределения. Можно так же показать, что при нормальном распределении средняя наработки до отказа и дисперсия нараб до отказа будут соот равны

Для практического использования соотношения перейдём от случайной величины

Согласно правилам определения закон распределения случайного аргумента, плотность распределения величины Z, описывается формулой

Очевидно что функция

В таблицах часто приводят значения не Ф(Z) а функция Ф₀(Z)

- Интеграл надёжности Лапласа

Наработка системы до отказа описывается нормальным распределением

m=4000

t1=2000

P(t1) f(t1) λ(t1)

Т.к. Z<0

Поставив значение сигма определим плотность распределения

Нормальное распределение располагается в области значений от – до + бесконечности, но т.к. время t может иметь только положительные значения, то правильнее было бы использовать усечённое нормальное распределение от 0 до + бесконечности. В результате усечения проводимого путём введения дополнительных нормирующих множителей, аналитические выражения существенно усложняются. В то же время для условия точность при использовании не усечённого нормального распределения сильно не страдает и его вполне можно использовать.