Приклад розрахунку коефіцієнта Спірмена
Визначимо тісноту зв'язку між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт на 10 промислових підприємствах. Дані наведені в таблиці 2.
Таблиця 2
Продуктивність праці і рівень механізації робіт на 10 підприємствах
Підприємство |
Середній вихід продукції в одиницю робочого часу, вир./год. |
Коефіцієнт механізації робіт, % |
Ранги значень змінних |
Різниці рангів |
||
t |
yi |
хi |
wі |
vі |
(vі - wі) |
(vі - wі)2 |
1 |
127 |
43 |
1 |
4 |
+3 |
9 |
2 |
120 |
51 |
2 |
1 |
–1 |
1 |
3 |
125 |
55 |
3 |
2 |
–1 |
1 |
4 |
126 |
57 |
4 |
3 |
–1 |
1 |
5 |
133 |
60 |
5 |
7 |
+2 |
4 |
6 |
129 |
62 |
6 |
5 |
–1 |
1 |
7 |
132 |
65 |
7 |
6 |
–1 |
1 |
8 |
135 |
68 |
8 |
8,5 |
+0.5 |
0,25 |
9 |
135 |
70 |
9 |
8,5 |
-0,5 |
0,25 |
10 |
140 |
74 |
10 |
10 |
0 |
0 |
Сума |
1302 |
605 |
55 |
55 |
0 |
18,5 |
Наприклад, ранг v5=7 означає, що підприємство 5 за рівнем механізації робіт стоїть на сьомому місці при розташуванні підприємств за зростанням відповідного показника. За даними табл.3 розрахуємо коефіцієнт рангової кореляції:
У послідовності рангів vі існує одна зв'язана пара ("ланцюг"). Знайдемо поправочний коефіцієнт за формулами (2). У нашій задачі введення поправки не приведе до істотної зміни величини коефіцієнта рангової кореляції, тому що число ланцюгів і кількість рангів у ланцюзі невелике. Отже, маємо (j = 1):
Величина rs свідчить про тісний позитивний зв'язок між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт. Коефіцієнт парної кореляції, розрахований безпосередньо по вихідним даним, дорівнює: rух=0,833. Співставлення rs і rух переконує в тому, що вони мало відрізняються один від одного. Коефіцієнт рангової кореляції в загальному є досить гарною характеристикою ступеню зв'язку досліджуваних змінних. Його перевага полягає в тому, що він не пов'язаний з передумовою нормальності розподілу вихідних даних. Але не слід уникати того, що при переході від початкових значень до рангів відбувається певна втрата інформації. Коефіцієнт рангової кореляції тим більше наближається до коефіцієнта парної кореляції, чим менше кореляційний зв'язок між досліджуваними змінними відрізняється від лінійного і чим тісніший цей зв'язок.
Метод рангової кореляції не вимагає лінійної кореляції між змінними. Однак, необхідно, щоб функція регресії, що відображує цей зв'язок, була монотонною.
Особливо корисною рангова кореляція є при дослідженні зв'язків між явищами, що не піддаються кількісній оцінці. У таких випадках дослідник на основі свого досвіду, чи порівнянь з яким-небудь еталоном, надає елементам вибірки ранги по кожному з досліджуваних якісних ознак. Наприклад, рангову кореляцію можна використовувати при дослідженні залежності між сортами продукції і виробничими витратами. При вивченні якості виробів їх часто класифікують по наступних рівнях: «відмінне, дуже гарне, гарне, середнє, погане». Аналогічно можна скласти шкалу і для інших ознак.
Рангову кореляцію широко використовують також при анкетуванні й опитуваннях населення, при обробці результатів різноманітних тестів. Таким чином, рангова кореляція виявляється корисною завжди для вивчення зв'язків там, де властивості явищ не піддаються точному кількісному виміру, але дозволяють робити порівняльну оцінку, завдяки якій складають послідовності рангів.