Лекція 7 об'ємний напружений стан

7.1 Компоненти напруженого стану. Тензор напружень

Для дослідження напруженого стану в точці навколо неї виділяється нескінченно малий паралелепіпед. У загальному випадку навантаження тіла і при довільному розташуванні паралелепіпеда на всіх його гранях діють як нор­мальні, так і дотичні напруження.

Нормальні напруження позначимо індексами осей, у напрямі яких вони діють: , . Дотичним напруженням дамо два індекси: перший з них вказує на напрям осі, вздовж якої діє дана складова дотичного напруження, другий — напрям зовнішньої нормалі до площини, на якій дана складова виникає (рис. 7.1).

Можна показати, що напруження на довільній площинці залежить від дев'яти компонентів напружень: . Аналогічно як для плоского, так і для об'ємного напруженого стану справедливий за­кон парності дотичних напружень:

. (7.1)

Отже, з дев'яти компонентів напружень залишається шість різних. їх можна записати у таблицю (матрицю), на головній діагоналі якої розташовані нор­мальні напруження, а точки вказують на те, що дотичні напруження, замість яких вони поставлені, дорівнюють дотичним напруженням, розташованим си­метрично відносно головної діагоналі:

Симетричну квадратну матрицю (7.2) називають тензором напружень. Компоненти тензора напружень є свого роду координатами, які визначають на­пружений стан у точці тіла. Тому напружений стан у точці тіла повністю озна­чений, якщо відомий тензор напружень для цієї точки.

Лекція 8 складний опір

Дотепер ми розглядали прості випадки навантаження стержня, які викли­кають його розтяг або стиск, кручення та прямий згин. Опір стержня у цих ви­падках називають простим. При сумісній дії кількох простих навантажень ви­никає так званий складний опір стержня.

8.1 Косий згин. Визначення нормальних напружень

У п. 3.1 ми розглядали прямий згин балок, при якому силова площина П проходить через одну з головних центральних осей її поперечного перерізу. Якщо ж силова площина П не збігається ні з однією з головних центральних осей поперечного перерізу балки, то такий згин називають косим (рис. 8.1).

Визначимо нормальні напруження в деякій точці А(z, у) довільного попе­речного перерізу (рис. 8.2). Головні центральні осі z, у в цьому перерізі вибе­ремо так, щоб область розтягу була в 1-й чверті. Згинальний момент М в да­ному перерізі розкладаємо на складові де

(8.1).

Користуючись принципом незалежності дії сил, зведемо косий згин до двох прямих згинів у двох взаємно перпендикулярних площинах. Напруження у точці А знаходиться згідно з принципом суперпозиції як алгебраїчну суму напружень від моментів М_z і М_у. За формулою (3.16)

(8.2)

У (8.2) моменти і М_у беруться по модулю, а координати точки, для якої визначаються напруження, підставляються з врахуванням знаків.