- •Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение векторов
- •Плоскость.
- •Линии второго порядка
- •Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
- •Исследование функций и построение их графиков
- •4.8. Поверхности второго порядка
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Формула Тейлора и ее приложения
Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производной второго порядка функции называется производная от ее производной , т.е. . Аналогично определяются производные более высоких порядков .
Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам
.
Если функция задана параметрически соотношениями , причем , то ее первая и вторая производные находятся по формулам:
.6.3.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует хотя бы одна точка такая, что .
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что (формула Лагранжа).
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и , то существует точка такая, что (формула Коши).
Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей и ).
Пусть – окрестность точки с выброшенной точки .
Теорема. Пусть функции и дифференцируемы на ; .
Если и (или и ), то при условии, что сущест-вует предел отношения производных.
Замечания:1. Аналогичная теорема справедлива и в случае .
2. Если частное в точке также есть неопределенность вида или и производные и удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вторых производных и т.д.
3. Неопределенности вида или алгебраическими пре-образованиями функции приводятся к неопределенности вида или , и далее применяется правило Лопиталя.
4. В случае неопределенности вида , или , или следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма.
Формула Тейлора и ее приложения
Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для любого имеет место формула Тейлора n-го порядка
где – остаточ-ный член в форме Лагранжа.
Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при :
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Пеано: при .