- •7.5. Сложение вращений твердого тела вокруг двух параллельных осей
- •7.6. Сложение поступательных движений твердого тела
- •7.7. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей
- •7.8. Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела
- •Раздел III. Динамика
- •Глава 1. Динамика материальной точки
- •1.1. Основные законы механики
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •1.3. Первая (прямая) задача динамики
- •1.4. Вторая (обратная) задача динамики
- •1.5. Динамика несвободной материальной точки
- •1.6. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •Тогда дифференциальное уравнение принимает вид
- •Глава 2. Колебательное движение материальной точки
- •2.1. Виды колебательных движений материальной точки
- •2.2. Свободные колебания материальной точки без учета сопротивления
- •2.3. Математический маятник и его малые колебания
- •2.4. Затухающие свободные колебания материальной точки
- •Частота затухающих колебаний
- •2.5. Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления среды
- •2.6. Вынужденные колебания материальной точки с учетом сопротивления
- •Глава 3. Динамика механической системы
- •3.1. Основные определения и понятия
- •3.2. Моменты инерции твердого тела относительно плоскости, оси и полюса
- •3.3. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей
- •3.4. Формула для вычисления момента инерции твердого тела относительно любой оси, проходящей через начало координат
- •Глава 4. Теорема о движении центра масс
- •Глава 5. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы
- •5.1. Импульс силы
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид
,
где
; ;
,
где и - алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения переносного вращения; МК — расстояние в данный момент от точки М до оси вращения.
Правая часть уравнения, кроме приложенных к точке сил, содержит переносную вращательную, переносную центробежную и кориолисову силы инерции.
2. Переносное движение — равномерное вращение вокруг неподвижной оси. В этом случае и =0 и основное уравнение динамики относительного движения точки примет вид
.
3. Переносное движение — поступательное неравномерное криволинейное движение. В этом случае и , а потому уравнение принимает вид
,
где
; .
4. Переносное движение — поступательное прямолинейное и равномерное движение. В этом случае и , а потому уравнение принимает вид
.
В правой части уравнения имеется только геометрическая сумма приложенных к точке сил, как в основном уравнении абсолютного движения точки, т. е. подвижная система отсчета Охуz является в этом случае тоже инерциальной системой.
Глава 2. Колебательное движение материальной точки
2.1. Виды колебательных движений материальной точки
Колебание или колебательное движение материальной точки - повторяющееся во времени движение точки около своего положения равновесия в двух противоположных направлениях. Необходимым условием такого положения является наличие восстанавливающей силы, которая возвращает точку в положение равновесия, если ее вывели из этого положения.
Такой силой может быть сила упругости связей, наложенных на материальную точку (рис. 3.14): пружины, рессоры, упругих оснований.
а) б)
в)
Рис. 3.14
Величина силы упругости, как правило, принимается пропорциональной деформации (удлинению пружины или прогибу балки). Проекция этой силы на ось х направлена в сторону и равна
при выборе начала координат (рис. 3.14,б) в конце недеформированной пружины и
при выборе начала координат (рис. 3.14,а,в) в положении статического равновесия.
В формулах с – коэффициент жесткости упругой связи, - статическая деформация под действием силы тяжести, х – отклонение точки от начала координат (текущая координата).
В положении равновесия (рис. 3.14,а,в – точка О)
или .
При колебании на точку могут кроме восстанавливающей силы действовать сила сопротивления и возмущающая сила .
Сила сопротивления – сила, препятствующая движению материальной точки. Это либо сила вязкого трения, либо сухого трения. В случае вязкого трения сила сопротивления при небольших скоростях движения точки в вязких жидкостях или газах пропорциональна первой степени скорости и направлена противоположно вектору скорости, т.е.
,
где - коэффициент сопротивления.
Возмущающая сила – сила, зависящая от времени. Во многих технических задачах наибольший интерес представляют возмущающие силы, которые изменяются с течением времени по периодическому закону:
,
где Н – максимальный модуль или амплитуда возмущающей силы; р – частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения возмущающей силы за 2π с; - фаза изменения возмущающей силы; δ – начальная фаза изменения возмущающей силы.
В зависимости от совокупности этих сил, действующих на материальную точку, различают четыре основных случая колебательного движения точки:
1) свободные колебания, совершающиеся под действием только восстанавливающей силы;
2) свободные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;
3) вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и силы периодического характера, называемой возмущающей силой;
4) вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления движению.