- •10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме
- •11. Обозначение плоскостей, заданных следами:
- •12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в
- •13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой
- •2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание
- •Глава I образование проекций
- •§ 1. Проекции центральные
- •§ 2. Проекции параллельные
- •5). Так построенные проекции называются параллельными.
- •1) Перспективные проекции в программу данного курса не
- •§ 3. Метод монжа
- •1) Теперь Петербургский государственный университет путей
- •XIX столетии н. Г. Уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для
- •Глава II точка и прямая
- •§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций 1,2
- •2. Проведя из а перпендикуляры к и 2, получаем проекции точки а:
- •1) Метод проекций с числовыми отметками в программу
- •1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"
- •§ 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3
- •15): Обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее
- •§ 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат
- •2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
- •3) Applicata (лат.) -- приложенная.
- •26 Показана точка к, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
- •§ 7. Точка в четвертях и октантах пространства
- •§ 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций
- •1; Равном aa' и а"ах.
- •2/ 1) Введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
- •1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
- •§ 9. Чертежи без указания осей проекций
- •2 В новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
- •1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
- •§ 10. Проекции отрезка прямой линии
- •1) Вывод см. В § 13.
- •§ 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей
- •1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. Е.
- •2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. Е.
- •3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. Е.
- •§ 12. Точка на прямой. Следы прямой
- •63) Задана проекция с", то, очевидно, надо разделить а'в' в том же
- •§ 13. Построение на чертеже натуральной величины
- •1Определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции а'в'
- •2А'в' равны каждый 45° (см. § 10).
- •2 Системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже
- •1 || А'в1); проекция выражает
- •§ 14. Взаимное положение двух прямых
- •§ 15. О проекциях плоских углов
- •1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна
- •2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций
- •3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то
- •4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна
- •2) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к
- •5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к
- •6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его
- •0; С°в° || св. Пл. , проведенная через точку с перпендикулярно к св,
- •Глава III. Плоскость
- •§ 16. Различные способы задания плоскости на чертеже
- •§ 17. Следы плоскости
- •§ 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения
- •1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки,
- •2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку,
- •2) Для линии ската плоскости распространено название "линия
- •108, Справа, на котором изображена пл. И прямая mb, устанавливаем, что эта
- •§ 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций
- •1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций,
- •2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь
- •110, 111, 113, 116, А также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа,
- •117, 119, На которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения
- •1 2 , То рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость,
- •2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций,
- •1, 2 С указанием оси и следов f"о и h'о
- •129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь
- •130: Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (ab)
- •3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также
- •§ 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
- •§ 21. Построение проекций плоских фигур
- •1 Или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника
- •140, Проецируется на пл. 1 без искажения.
- •2) Ортоцентр треугольника.
- •Глава IV. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
- •§ 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и
- •§ 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной
- •§ 24. Построение линии пересечения двух плоскостей
- •1, В своем пересечении определяют первую точку, к1, линии пересечения
- •1'2', И 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной
- •167 Показывает, что и пересекаются между собой, хотя их горизонтали
- •§ 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
- •§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам
- •166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям
- •3', Через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно
- •§ 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
- •§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей
- •§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
- •1) Через точку а провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к
- •2) Определить точку к пересечения прямой вс с ил. ;
- •1,2 Дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,
- •90°. Аналогично, если пл. Составляет с пл. 2 угол ?, а прямая am,
- •§ 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
- •194 Горизонтально-проецирующая плоскость проходит через точку к
- •§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя
- •Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения
- •§ 32. Приведение прямых линий и плоских фигур
- •1) Введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия
- •2) Изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота
- •§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)
- •1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. Е. Явится
- •206 Такой точкой служит точка n, взятая на следе f"о; построена ее проекция
- •3 Равны между собой и выражаются, например, отрезком а'2; взяв ось 3/4
- •3 % 1 И 3 % abc, а 4 %3 и 4 || abc. Заключительная стадия построения
- •4 Проведена параллельно пл. Abc, что и приводит к определению натурального
- •§ 34. Основы способа вращения ')
- •§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
- •1. Пусть точка а вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.
- •212). Через точку а проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,
- •2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.
- •3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту
- •218; Плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,
- •218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
- •218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
- •2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
- •§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
- •1 И, следовательно, проекция
- •§ 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,
218 Упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в
случае "ухода" точки Х" за пределы чертежа; но в аналогичном случае на рис.
218 Пришлось бы взять две вспомогательные линии.
На рис. 221 плоскость общего положения повернута в положение
горизонтально-проецирующей; при этом определился угол наклона пл. к пл.
2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.
поставить в положение фронтально-проецирующей, определив при этом угол
наклона плоскости к пл. 1.
Сравнивая между собой плоскости до и после поворота, замечаем, что
угол, образуемый следами f"o и h'0 на чертеже, вообще изменяется.
89
Если представить себе круговой конус с вершиной в точке О и с
основанием на рис. 220 в пл. 1ь а на рис. 221 в пл. 2 и .касательную к
конусу пл. , то поворот пл. вокруг оси вращения, совпадающей с осью
конуса, представляет собой как бы "обкатку" конуса касательной к нему
плоскостью.
ВОПРОСЫ К § 34-35
1. В чем заключается способ вращения?
2. Что такое плоскость вращения точки и как она располагается по
отношению к оси вращения?
3. Что такое центр вращения точки при повороте ее вокруг некоторой оси?
4. Что такое радиус вращения точки?
Последующие вопросы относятся к вращению вокруг оси, перпевдикулярной к
плоскости проекций.
5. Как перемещаются проекции точки?
6. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины?
7. Как осуществляется поворот плоскости: а) не выраженной следами, 6)
выраженной следами?
8. В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по
отношению: а) к пл. ", б) к пл. -?
9. Такой же вопрос относительно плоскости 3.
10. Можно ли путем поворота определить длину отрезка прямой линии и
угол ее наклона к пл. , и . ..?
11. Можно ли путем поворота плоскости определить угол ее наклона к пл.
а, и к пл. я-?
Какое выгодное положение можно придать оси вращения при повороте: 1)
отрезка прямой, 2) плоскости, выраженной следами?
§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей
ВРАЩЕНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ , ИЛИ ,
Раньше (см. § 35) мы видели, что если вращать отрезок прямой линии или
плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то
проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине --
меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что же
касается другой проекции -- на плоскости, параллельной оси вращения, то все
точки этой проекции (за исключением, конечно, проекций точек, расположенных
на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и
проекция вообще изменяется по форме и по величине. Пользуясь этими
свойствами, можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси
вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не
изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры,
переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую
проекцию так, как.указано выше.
Например, задавшись целью повернуть отрезок АВ прямой общего положения
(рис. 222) так, чтобы он оказался перпендикулярным к пл. , начинаем с
поворота вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 до положения, параллельного
пл. 2, но эту ось на чертеже не указываем. Так как при таком повороте
горизонтальная проекция отрезка не изменяет своей величины, то проекцию
А' В' берем равной А'В' и располагаем параллельно оси х, что соответствует
параллельности самого отрезка пл. 2.
Найдя соответствующую фронтальную проекцию отрезка ( А" В") выполняем
второй поворот, теперь вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, до искомого
положения -- перпендикулярности АВ к пл, . И эту ось на чертеже не
изображаем. Располагаем проекцию А"В", равную А"В", перпендикулярно к оси х.
Горизонтальная проекция отрезка выражается точкой с двойным обозначением --
А' В'.
Итак, выполненные операции соответствуют поворотам вокруг осей,
перпендикулярных к плоскостям проекций, но оси эти не указаны. Конечно, их
можно найти.
90
Например, если провести прямые -- одну через точки А' и А', другую
через В' и В', затем провести перпендикуляры в серединах отрезков А'А' и
В'В', то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет
горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к пл. ,. Но, как
видно, необходимости в этом нет.
На рис. 223 показаны две стадии поворота ABC, расположенного в
плоскости общего положения, с целью получения натурального вида этого
треугольника. Действительно, он в последнем своем положении параллелен пл.