3. Оценка точности по разности двойных равноточных измерений.

Оценка точности по разностям двойных измерений даёт повышенный результат. Она не учитывает целого ряда источников ошибок.

Если имеем двойные равноточные измерения n величин (величины измерены 2 раза)

Х₁, Х₂ …Х_n

и получены результаты

х_1, х₂…х_n

x’₁, x’₂…x’_n,

то составляем разности d_i = x_i-x’_i.

d₁, d₂…d_n

, …

d’₁, d’₂…d_n

При отсутствии систематических ошибок эти разности можно рассматривать как ошибки величин, истинное значение которых = 0. Поэтому, применяя формулу Гаусса (Δ_i = x_i – X – истинные ошибки измерений), мы имеем СКО разности , где n – число разностей.

m²_d = m²_X + m²_X’ = 2m²_X  m_X = m_d/2.

Наиболее надежные значения _i величин X_i, каждая из которых измерена 2 раза, вычисляют как средние арифметические из соответствующих результатов измерений:

m = m_x/2 = m_d/2.

Если измерения сопровождаются систематическими ошибками, то на наличие этих ошибок указывает значительное отклонение от нуля величины θ = [d]/n – остаточная систематическая ошибка в разностях d_i.

В этом случае, рассматривая разности

d’_i = d_i – θ

как уклонения от арифметической середины и применяя формулу Бесселя, получим - СКО любой разности d_i.

Контроль вычислений: для определения значительности влияния систематических ошибок на результаты служит критерий: [d’] = - n, где  = θ _OKP – θ – ошибка округления.

Если выполняется неравенство

[d]  2,5[d]/n

или [d]  0,25[d]

то можно принять гипотезу об отсутствии в разностях d_i постоянной систематической ошибки. Эти неравенства являются критериями наличия систематических ошибок.

Пример: результаты нивелирования при двух положениях нивелира, результаты при двух совмещениях штрихов или измерение углов двумя приемами в полигонометрическом ходе.

4. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений.

Пусть каждая из однородных величин X_i (i = 1,2,..., n) измерена дважды и независимо, причем измерения в каждой паре равноточны, а пары м/у собой неравноточны.

Если разности двойных равноточных измерений d_i = x_i-x’_i. получены по неравноточным измерениям x_i , но попарно равноточными, т.е. Px_i = P’x_i – веса измерений в i-той паре, то имеем обратный вес разности и Pd_i = Px_i/2 = P_i/2.

Поэтому при отсутствии систематических ошибок получаем ошибку единицы веса (единицы измерения): .

СКО средних значений x_{i CP} = (x_i + x’_i)/2 будут равны .

В случае, когда разности d_i будут содержать систематические ошибки, θ = [Pd]/[P] будет заметно отличаться от нуля. Тогда будем иметь , где

d’_i = d_i – θ.

Критерием наличия постоянной систематической ошибки будет невыполнение неравенства:

[P_d d]  2,5[ P_d d ]/[P_d].

5. Понятие средней квадратической ошибки. Свойства средней квадратической ошибки.

Средняя ошибка – это среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок.

Вероятная ошибка - это такое значение случайной ошибки, больше или меньше которого по абсолютной величине ошибки равновозможны.

Если все ошибки расположить в ряд по убывающим или возрастающим абсолютным значениям, то вероятная ошибка будет расположена в середине этого ряда.

СКО (m) – это величина, вычисляемая по формуле Гаусса , где ∆_i = x_i - X - истинные ошибки; X- истинное значение измеренной величины; x_i – результаты измерений одной и той же величины.

Обычно СКО оказывают предпочтение перед средней и вероятной по следующим причинам:

1) На величину СКО в большей степени оказывают влияние крупные по абсолютным значениям ошибки.

2) СКО устойчива, т.е. она достаточно надежно определяется при небольшом числе n.

Надежность СКО характеризуется СКО самой СКошибки, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле .

Принято считать, что n ≥ 8.

Для теоретических расчетов допусков служит формула: ∆_ПРЕД  3m.

На практике, учитывая ограниченное число измерений, принимают ∆_ПРЕД  2m.

Средне квадратическую, средне вероятную, предельную ошибки называют абсолютными. Отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеренной величины, выраженное дробью с числителем, равным 1, называют относительной ошибкой.