1. Обработка ряда равноточных измерений одной величины.

1. определение наиболее надёжного значения измеряемой величины из реальных измерений.

2. оценка точности результатов измерений.

3. оценка точности наиболее надёжного значения измеряемой величины из реальных измерений.

Наиболее надёжным значением измеряемой величины из реальных измерений будет простая арифметическая середина ,

а для дисперсии одного измерения – квадрат СКО (ф-ла Бесселя для равноточных измерений): m²=[V²]/(n-1),

где - отклонения от простой арифметической середины, обладающие свойствами: [V] = 0, [V²] = min.

Величина имеет СКО m = M = m/n, где m – ошибка одного измерения, n – кол-во измерений.

Совместное влияние случайных ошибок и постоянной систематической ошибки м.б. выражено формулой:

с – систематическая ошибка. Число измерений поэтому не может беспредельно повышать точность . Поэтому формула для m работает до n = 8, а дальше не действует.

СКО при достаточно большом n характеризуется СКО и .

Заметим, что если известны истинные ошибки измерений Δ_i = x_i – X, то задача сводится только к оценке точности измерений по формуле Гаусса

Порядок вычисления при обработке ряда равноточных измерений:

1. вычисление арифметической середины выполняется по более удобной формуле:

= x’ + []/n,

где x’ – приближённое значение для (обычно это минимальное значение из х_i);

ε_i = x_i – x’

2. Вычисляют отклонения V_i = x_i - _OKP и выполняют контроль [V] = - n,

где  - ошибка округления при вычислении , т.е.  = _OKP - . Обычно _OKP вычисляют с числом десятичных знаков на один больше, чем их имеется в х_i , а содержит на один знак больше, чем _OKP или на два знака больше чем x_i .

3) Далее вычисляют [V²] c контролем [V²] = [²] - [²]/n и ошибки m, M, m_m и m_M. - СКО измерения

- ошибка наиболее вероятного измерения

- ошибка СКО измерения

m_M  M/ - ошибка ошибки наиболее вероятного измерения

Результат записывают в виде  М.

Пример: измерение угла n приемами, измерение стороны n приемами.

2. Обработка ряда неравноточных измерений одной величины.

Неравноточными называются измерения, имеющие неодинаковые СКО.

В неравноточных измерениях существует понятие веса измерения

Р_i = μ²/m²_i

μ – СКО единицы веса, она равна численному значению СКО результата, вес которого численно равен 1 и размерность может быть любой;

m_i – СКО i – ого измерения. Эта ошибка д.б. определена надёжно (получена из результатов измерений, число которых n > 8), а так же свободна от систематического влияния.

Имеем ряд независимых неравноточных измерений x₁, x₂, x₃ … x_n с весами P₁, P₂, P₃ … P_n

x₁, x₂, x₃ … x_n

m₁, m₂, m₃ … m_n

P₁, P₂, P₃ … P_n

1) Находим наиболее надёжным значением измеряемой величины из реальных измерений. В нашем случае это будет общая арифметическая середина или средне весовое значение:

2) Оцениваем точность результатов измерений по формуле Бесселя:

где - отклонения от общей арифметической середины, обладающие свойствами: [pV] = 0, [pV²] = min.

3) оцениваем точность наиболее надёжного значения:

m = M = m/[p]

а в случае наличия систематических ошибок

Имеют место формулы

Заметим, что если известны истинные ошибки измерений Δ_i = x_i – X, то задача сводится только к оценке точности измерений по формуле Гаусса

Порядок вычислений при обработке ряда неравноточных измерений:

1. Вычисление средне весового значения осуществляется по более удобной формуле

,

где x’ = min x_i,

_i = x_i – x’

3. Вычисляют уклонения V_i = x_i - _OKP и выполняют контроль [pV] = - [p],

где  - ошибка округления при вычислении , т.е.  = _OKP - . Обычно _OKP вычисляют с числом десятичных знаков на один больше, чем их имеется в х_i , а содержит на один знак больше, чем _OKP или на два знака больше чем x_i .

3) Далее вычисляют [pV²] c контролем [pV²] = [p²] - [p²]/[p] и ошибки μ, M, m_μ и m_M.

- ошибка единицы веса

- ошибка определения величины

- ошибка ошибки единицы веса

- ошибка ошибки определения величины

Результат записывают в виде  М.

Пример: угол измерен n приемами, но при разных условиях или разными приборами.

Заметим, что оба значения μ (принятое для вычисления весов и полученное по формуле Бесселя) должны совпадать в пределах ошибки m_μ. Их расхождение на величину, большую чем m_μ, указывает на наличие систематических ошибок.