Свойства функций:
Четность.
Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).
2) Монотонность.
Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) < f ( x1 ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
3) Ограниченность.
Функция называется
ограниченной,
если существует такое положительное
число M,
что | f (
x ) |
M
для всех
значений x .
Если такого
числа не существует, то функция -
неограниченная.
4) Периодичность.
Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Пример.
Доказать, что sin x
имеет период 2
Решение. Мы знаем, что sin ( x+ 2 n ) = sin x, где n = 0, 1, 2, … Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не меняет его значениe. Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin ( x+ P ) = sin x, справедливо для любого значения x.
Но тогда оно имеет место и при x = / 2 , т.e. sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.
Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P.
Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2 n.
Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число и есть период sin x.
Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2 n ) = sin [ 2 ( x + n)] Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число из n есть таким образом, это период sin 2x .
5) Обратная функция.
определение
обратной функции. Пусть дана функция
y=f(x), x
X.
Она определена на множестве X, т.е. D(f)=X.
Обозначим её множество значений через
Y, т.е. E(f)=Y. Тогда, как мы уже отмечали,
функция y=f(x) задает отображение f множества
X на множество Y. Может случиться так,
что это отображение обратимо. Тогда
обратное отображение f -1 множества Y на
множество X называют обратной
функцией и
пишут f -1:Y→X или x=f -1(y), yY. Равенство x=f
-1(y) называется обратным
правилом.
Выясним, для каких функций имеются обратные. Сравним две функции, графики которых изображены на рис.3. Обе они задают отображение отрезка [a;b] на отрезок [c;d]. Функция y=f(x) обладает следующим свойством прообраз любого элемента y0[c;d] состоит только из одной точки. А y=f(x) подобным свойством не обладает: так как прообраз точки y0 есть трехэлементное множество {x1;x2;x3}. Это значит, что функция y=f(x) имеет обратную, а функция y=g(x) обратной не имеет.
Монотонная
и немонотонная
ф-и
Теорема.Если функция y=f(x), х X монотонна на промежутке X и E(f)=Y, то для неё существует обратная x=f -1(y), y Y, причем обратная функция монотонна на Y.
График y=f -1(x) получается из графика y=f(x) с помощью преобразования плоскости xOy, переводящего точку (x;y) в точку (y;x). Этим преобразованием является симметрия относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных углов). Значит, чтобы получить график функции y=f -1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график y=f(x) симметрично отобразить по прямой y=x.
6) Сложная функция.
Это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом.
Например, если у
= u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х.
Если же, например, у =
,
u = sinx, то у =
,
причём, если ограничиваться действительными
значениями функции, С. ф. у как функция
х определена только для таких значений
х, для которых sin ³ 0, то есть для
,
где k = 0, ± 1, ± 2,...
7) Неявная функция.
Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением вида:
F(x,y) = 0, (*)
т.е. задана функция F(x,y) двух вещественных аргументов x и y (если они существуют), для которых выполняется (*).
Чтобы выразить функцию y в явном виде, достаточно разрешить (*) относительно y. Так как для данного значения аргумента х уравнение (*) может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней y, то в общем случае неявная функция является многозначной.
Например, функция
у (у>0), определяемая уравнением
,
является неявной. Явно заданная функция
будет иметь вид:
.
8) Параметрическая функция.
В этом случае обе координаты (х и у) являются равноправными, т. е. вычисляются как функции некоего вспомогательного параметра, обозначаемого, как правило, символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:
q(t) = {x(t), y(t)},
где х(t) и y(f) — функции параметра t.
Задавая одинаковые значения t, функция x(f) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) — значения координаты у.
Можно легко представить, что значения параметра t— это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается частица в различные моменты (значения) времени f. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
Важным качеством параметрических кривых является то, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.
Пример
Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции
x(f) = cost;
y(t) = sinf
создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.
9) Гиперболические функции.
;
;
.
Областью
определения функций shx , chx , thx является
вся числовая ось; функция y=cthx не определена
в точке х=0. Название гиперболических
функций (синус, косинус, …) объясняется
тем, что для них справедливы тождества
''похожие'' на тригонометрические:
ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)
sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)
ch2x–sh2x=1 , (3)
ch2x=ch2x+sh2x , (4)
sh2x=2shx · chx . (5)
Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком.