Вопрос 30. Решение системы линейных уравнений матричным методом.

Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A-1, получим A-1AX= A-1B, откуда EX=X=A-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A-1 и B.

Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:

21x1-45x2-3.5x3=10

12x1-16x2+21x3=-16

14x1+13x2-8x3=10

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

A=	21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

 и ранг расширенной матрицы

B=	21 -45 3.5 10 12 -16 21 -19 14 13 -8 10

 

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения

 

A=

21 -45 3.5 12 -16 21 14 13 -8

X=

X1 X2 X3

C=

10 -19 10

, то X=A-1C

Найдем обратную матрицу A-1. Как ее найти, показывать не будем. Воспользовавшись нашии онлайн калькулятором, вы сможете выбрать один из двух способов для ее нахождения. Она будет иметь вид.

 

A-1=	0.008 0.016 0.046 -0.02 0.011 0.021 -0.02 0.047 -0.011

 

Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А-1 на матрицу С

0.008 0.016 0.046 -0.02 0.011 0.021 -0.02 0.047 -0.011

10 -19 10

=

0.227 -0.209 -1.194

 

Получили решение системы уравнений X1=0.227  X2=-0.209  X3=-1.194