Методические указания к решению задач

Задача №1

При решении задачи необходимо воспользоваться коэффициентами объемного сжатия _v и температурного расширения _t:

, (1)

, (2)

где V – изменение объема V, соответствующее изменению давления на величину p или температуры на величину t.

Из этих формул находим искомую величину p при изменение температуры на заданную величину t, С.

Задача №2

Собственный вес колодца должен обеспечивать его устойчивость при заданных коэффициентах запаса на сдвиг, опрокидывание и всплытие.

Расчеты устойчивости на сдвиг и опрокидывание необходимо производить при горизонте низких вод, на всплытие – при горизонте высоких вод.

I. Устойчивость на сдвиг

Условие устойчивости на сдвиг определяется выражением:

, (3)

где F_тр – сила трения основания колодца о грунт, Н; P_с – сдвигающая сила, Н.

Величина F_тр определяется с учетом взвешивающей силы воды по формуле (4).

F_тр = f_тр(G - P_п), (4)

где f_тр – заданный коэффициент трения основания колодца о грунт; G – собственный вес колодца, Н; P_п – подъемная (архимедова) сила, Н.

Сдвигающая сила P_с равна равнодействующей сил гидростатического давления воды, действующих справа и слева:

P_с = P₂ – P₁,

где P₁ – сила гидростатического давления, действующая на боковую стенку колодца слева, Н; P₂ - сила гидростатического давления, действующая на боковую стенку колодца справа (сила давления грунтовых вод), Н.

Отсюда необходимый вес колодца, обеспечивающий его устойчивость на сдвиг с заданным коэффициентом запаса;

.

II. Устойчивость на опрокидывание

Условие устойчивости на опрокидывание определяется выражением:

, (5)

где М_у – суммарный удерживающий момент относительно оси опрокидывания (точка 0), Нм; М_оп – опрокидывающий момент, Нм.

Суммарный удерживающий момент равен: М_у = М₁ + М₂,

где М₁ = P₁ ₁ – удерживающий момент от силы гидростатического давления P₁, действующей слева, Нм; - плечо силы P₁ (расстояние от основания колодца до точки приложения этой силы), м;

М₂ = (G – P_п) - удерживающий момент от силы веса колодца с учетом подъемной силы, Нм; - плечо силы веса относительно оси опрокидывания, м.

Опрокидывающий момент равен М_оп = P₂ ,

где - плечо силы гидростатического давления P₂ относительно оси опрокидывания, м.

Отсюда необходимый собственный вес колодца, обеспечивающий условие на опрокидывание с заданным коэффициентом запаса:

.

III. Устойчивость на всплытие

Необходимый собственный вес колодца, обеспечивающий условие на всплытие с заданным коэффициентом запаса:

G_в = 1,5P_п, (6)

где P_в = gH₂LB – подъемная сила при горизонте высоких вод, Н;  = 1000 кг/м³ – плотность воды.

Задача №3

Задача решается на основе применения уравнения Бернулли. Для плавно изменяющегося потока вязкой жидкости, движущейся от сечения 1 к сечению 2, уравнение Д. Бернулли имеет вид:

, (7)

где z₁ = z₂ – высоты центров тяжести живых сечений, м; p₁, p₂ – давление в центре тяжести в живых сечениях 1–1 и 2-2, соответственно, Па; ₁, ₂ - средняя скорость движения жидкости в живых сечениях 1–1 и 2-2, соответственно, м/c; ₁ = ₂ = 1 – коэффициент Кориолиса для турбулентного режима; h_1-2 – потери напора на преодоление сил сопротивлений при движении потока от сечения 1-1 до сечения 2-2, м;  - плотность воды, кг/м³; g – ускорение свободного падения, м/c².

Решение задачи выполняется в следующем порядке:

1. Составляется уравнение Д.Бернулли в общем виде для сечений 0-0 и 3-3. Сечение 0-0 совпадает со свободной поверхностью жидкости в резервуаре, сечение 3-3 – выходное сечение.

2. Намечается горизонтальная плоскость сравнения. При горизонтальном трубопроводе в качестве таковой берется плоскость, проходящая по оси трубопровода.

3. После подстановки всех найденных величин в уравнение Бернулли и его преобразования записывается расчетное уравнение в буквенном выражении для определения искомой величины H.

4. Определяются скорости движения воды на каждом участке.

5. По скоростям движения воды вычисляются числа Рейнольдса и устанавливается режим движения на каждом участке. Значение кинематического коэффициента вязкости следует взять из приложения 1.

6. Определяются потери напора по длине каждого участка ( , , ) и в каждом местном сопротивлении: вход в трубу их резервуара h_вх, внезапное расширение h_вр, внезапное сужение h_вс.

Потери напора по длине следует определять по формуле Дарси:

,

где , d_i – длина и диаметр расчетного участка трубопровода, м;  - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси); _i – средняя скорость потока на рассматриваемом участке, м/с.

Коэффициент Дарси  может быть определен по формуле А.Д. Альтшуля:

,

где k_э – эквивалентная шероховатость стенок труб, м; Re – число Рейнольдса.

Потери напора в местных сопротивлениях вычисляют по формуле Вейсбаха:

,

где _мi – коэффициент местного сопротивления (берется по справочнику).

При вычислении потери напора на вход в трубу коэффициент местного сопротивления _вх = 0,5. Значение коэффициента при внезапном сужении трубопровода _вс взять из приложения 2.

Потерю напора при внезапном расширении трубопровода можно определить по формуле Борда:

,

где ₁ и ₂ – средние скорости течения соответственно до и после расширения, м/с.

7. После определения потерь напора по длине и в местных сопротивлениях вычисляется искомая величина – напор H.

8. Строится напорная линия. Напорная линия показывает, как изменяется полный напор H = z + p/g + ²/2g (полная удельная энергия) по длине потока. Значения H откладывают по осевой линии трубопровода.

При построении напорной линии нужно вертикалями выделить расчетные участки. Таких участков в данной задаче три. Далее в произвольно выбранном вертикальном масштабе откладывается от осевой линии величина найденного уровня жидкости в резервуаре H. Проводя по этому уровню горизонтальную линию, получаем линию исходного (первоначального) напора. От уровня жидкости в резервуаре по вертикали, отвечающей сечению при входе жидкости в трубопровод, откладывается в масштабе вниз отрезок, равный потери напора при входе жидкости в трубу (потеря напора в местном сопротивлении).

На участке имеет место потеря напора по длине трубопровода . Для получения точки, принадлежащей напорной линии в конце участка , нужно от линии полного напора после входа жидкости в трубу отложить по вертикали в конце участка вниз в масштабе отрезок, соответствующий потере напора . Затем от точки полного напора в конце участка откладывается в масштабе отрезок, соответствующий потери напора в местном сопротивлении (внезапное расширение) и так до конца трубопровода. Соединяя точки полного напора, получим напорную линию.

Пьезометрическая линия показывает, как изменяется пьезометрический напор z + p/g (удельная потенциальная энергия) по длине потока. Удельная потенциальная энергия меньше полной удельной энергии на величину удельной кинетической энергии ²/2g. Поэтому, чтобы построить пьезометрическую линию, нужно вычислить на каждом участке величину ²/2g и отложить ее числовое значение в масштабе вниз от напорной линии. Откладывая соответствующие значения ²/2g, в начале и в конце каждого участка и соединяя полученные точки, строим пьезометрическую линию.

График напорной и пьезометрической линий будет построен правильно в том случае, если при их построении были выдержаны принятые вертикальный и горизонтальный масштабы, а также верно вычислены все потери напора и все скоростные напоры ²/2g.

Для того, чтобы проверить правильность построения напорной и пьезометрической линий, необходимо помнить следующее:

1. Напорная линия вниз по течению всегда убывает. Нигде и никогда напорная линия не может вниз по течению возрастать.

2. Гидравлический уклон будет больше на том участке, на котором скорость течения потока больше.

3. В отличие от напорной линии, пьезометрическая линия может вниз по течению как убывать, так и возрастать (при переходе с меньшего сечения на большее).

4. В пределах каждого участка пьезометрическая линия должна быть параллельной напорной, поскольку в пределах каждого участка постоянна величина ²/2g. На тех участках, где скорость больше, расстояние между напорной и пьезометрической линией будет больше.

5. Как бы не изменялась пьезометрическая линия по длине потока, при выходе его в атмосферу (свободное истечение) она неизбежно должна приходить в центр тяжести выходного сечения. Это происходит потому, что пьезометрическая линия показывает изменение избыточного давления по длине трубопровода, которое в выходном сечении равно нулю, поскольку в выходном сечении абсолютное давление равно атмосферному.

После построения напорной и пьезометрической линий на графике показывают все потери напора и все скоростные напоры с указанием их числовых значений. Примерный вид графика приведен на рис. 6.

― пьезометрическая линия;

― напорная линия.

Рис. 6

Задача №4

Для определения искомой величины вакуума при входе в насос (сечение 2-2) необходимо знать высоту расположения оси насоса над уровнем воды в водоприемном колодце. Эта высота складывается из суммы высот H + z. Поскольку величина H задана, необходимо определить перепад уровней воды в реке и водоприемном колодце z.

Величина z при заданных длине и диаметре самотечной линии зависит от расхода Q и определяется из уравнения Бернулли, составленного для сечений 0-0 и 1-1 (рис. 3). Принимаем за горизонтальную плоскость сравнения сечение 1-1.

, (8)

где z = z₀ – z₁ – перепад уровней воды в бассейне и водоприемном колодце, м; p₀ = p₁ = p_ат – давления в центрах тяжести сечений 0-0 и 1-1, Па; ₀ = 0 и ₁ = 0 – средние скорости течения в этих сечениях, м/с;  - плотность воды, кг/м³; ₀ и ₁ – коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения кинетической энергии; g – ускорение свободного падения, м/c²; h_0-1 – потери напора между этими сечениями.

После подстановки всех величин, получим: z = h_0-1 = h_l + h_м,

где h_l – потери напора по длине, м; h_м – потери в местных сопротивлениях, м.

К местным сопротивлениям относятся вход в трубопровод и выход из него. При определении потерь напора в этих сечениях коэффициенты местного сопротивлений принять равными: _вх = 3, _вых = 1.

Потери напора по длине следует найти по формуле Дарси, значение коэффициента гидравлического трения  определить по формуле Альтшуля, приняв эквивалентную шероховатость стенок труб k_э = 1 мм и кинематический коэффициент вязкости  = 0,01 см²/с.

Искомая величина вакуума при входе в насос определяется из уравнения Бернулли, составленного для сечений 1-1 и 2-2, при этом за горизонтальную плоскость сравнения следует взять сечение 1-1.

При определении потерь напора во всасывающей линии насоса коэффициент местного сопротивления приемного клапана с сеткой взять по приложению 3, а колена принять _кол = 0,2; коэффициент гидравлического трения  вычислить по формуле Альтшуля.

При движении воды по двум самотечным трубам одинакового диаметра новое значение вакуума в сечении 2-2 определяется из расчета прохождения по одной трубе расхода Q₁ = Q/2. Исходя из этого расхода, следует найти новое значение перепада уровней z, а после этого в том же порядке вычислить соответствующую этому значению z величину вакуума в сечении 2-2.

Задача №5

Явление повышения давления в трубопроводе при быстром закрывании задвижки называют гидравлическим ударом. Гидравлический удар обусловлен переходом кинетической энергии движущегося потока в потенциальную энергию давления при его остановке.

Повышение давления определяется по формулам:

при прямом ударе p = с,

при непрямом ударе p = сT/T_з,

где  = 1000 кг/м³ – плотность воды;  - средняя скорость движения, м/с; с – скорость распространения ударной волны, м/с; T – фаза ударной волны, с; T_з – время закрывания задвижки, с.

Если T_з<T, то имеет место прямой гидравлический удар, если T_з>T – непрямой.

Величина T определятся по формуле: T = 2 /с.

Для случая движения воды в стальном трубопроводе:

Определив величину T и сопоставив ее с заданной величиной T_з, следует установить вид гидравлического удара, после чего найти повышение давления.

Разрывающее усилие, испытываемое стенками трубопровода под влиянием давления p равно: F = pd .

Это усилие воспринимается площадью сечения стенок трубопровода S = 2 , а растягивающее напряжение  = F/S = pd/2.

Отсюда искомое максимально допустимое давление для заданного трубопровода:

. (9)

Задача №6

Искомая глубина наполнения h определяется методом подбора по формуле Шези:

, (10)

где Q – расход жидкости, м³/с;  - площадь живого сечения потока, м²; С – коэффициент Шези; R = / - гидравлический радиус, м;  - длина смоченного периметра русла, м; j = h / - гидравлический уклон.

Для открытых русел гидравлический уклон равен уклону дна канала.

Величину С определяем по формуле Маннинга: ,

где n- коэффициент шероховатости стенок русла (для данной задачи n = 0,015).

Расходной характеристикой или модулем расхода К называется следующая величина: .

Таким образом, формула (10) принимает вид .

Следовательно, величина К равна расходу в данном русле при заданной глубине h.

Решение задачи ведется в следующем порядке.

Задаваясь различными значениями h, вычисляем последовательно величины , , R, С и К. Все вычисления сводим в таблицу 11.

Таблица 11

h, м	, м2	, м	R, м	, м0,5	, м3/с
h1 h2 h3 и т.д.					К1 К2 К3

По данным таблицы строим кривую связи К = f(h) (рис. 7). Определяем заданное значение модуля расхода . По кривой связи определяем искомую глубину наполнения коллектора h, соответствующую К_зад, после чего вычисляем , , R, С, соответствующие найденному значению h.

рис. 7

По формуле Шези выполняем проверку. Полученное значение Q должно равняться заданному.

Зная расход и площадь живого сечения потока, определяем скорость его движения.

Состояние потока может быть определено по одному из двух параметров: по критической глубине h_к или по безразмерному числу Фруда Fr.

При глубине потока h>h_к – поток находится в спокойном состоянии, при h<h_к – в бурном.

Критическая глубина для русел прямоугольного поперечного сечения может быть определена по формуле:

, (11)

где  - коэффициент кинетической энергии ( = 1); Q – расход, м³/с; g – ускорение свободного падения, м/с²; В – ширина русла, м.

Число Фруда определяется по формуле:

, (12)

где  - средняя скорость течения потока, м/с; h – глубина, м.

Если Fr >1 – поток в спокойном состоянии, Fr <1 – бурный поток.

Определив состояние потока по одному из этих параметров, следует выполнить проверку по другому параметру.

Задача №7

Скорость движения сточной жидкости  и расход Q в самотечном канализационном трубопроводе определяются по формулам:

,

,

где W_п и К_п – модули скорости и расхода при полном наполнении трубопровода (h = d), м/c и м³/с; N = W/W_п и M = К/К_п – безразмерные величины, характеризующие отношения модулей скорости W и расхода К при заданной глубине наполнения h к модулям скорости и расхода при полном наполнении трубопровода.

Расчеты показывают, что величины N и M не зависят от диаметра трубопровода, а являются функциями только степени его наполнения N = f₁(h/d), и M = f₂(h/d).

На рис. 8. представлены графические отображения этих функций, а также M/N = f₃(h/d).

Рис. 8

Значения величин К_п и W_п в зависимости от диаметра трубопровода для n = 0,013 приведены в приложении 4.

Площадь живого сечения: ,

где С = К_п/W_п – постоянная для данного диаметра величина, равная отношению модуля расхода к модулю скорости при полном наполнении трубопровода.

Отсюда находим отношение M/N, соответствующее наименьшей допустимой (самоочищающей) скорости движения сточной жидкости _min.

.

Под самоочищающей скоростью понимают такую минимальную среднюю скорость потока, при которой частицы жидкости, содержащиеся в сточной жидкости, из потока не выпадают, а переносятся потоком во взвешенном состоянии. Значения допустимых минимальных скоростей движения сточной жидкости при расчетном наполнении приведены в приложении 6.

Далее по кривой M/N = f(h/d), представленной на рис. 8, находим величину h/d, которая не должна превышать допустимую величину для данного диаметра. Допустимые величины h/d для различных диаметрах приведены в приложении 5. В случае превышения полученного значения h/d над допустимым величину i_min определяем для допустимого максимального наполнения трубопровода.

По найденному значению h/d определяем величины M и N (рис. 8).

Далее находим искомое значение минимального уклона:

.

После чего определяем скорость движения сточной жидкости при минимально возможном уклоне:  = NW_п .

Допустимая максимальная пропускная способность трубопровода при данном уклоне и соответствующая ей скорость движения сточной жидкости определяются максимально допустимой степенью наполнения трубопровода и вычисляются по приведенным выше формулам.

В том случае, когда величина минимального уклона вычислена по максимально допустимому наполнению, максимальная пропускная способность равна заданному расчетному расходу Q.

Задача №8

Гидравлической крупностью частицы называется скорость ее равномерного падения в безграничной среде невозмущенной, покоящейся жидкости (воды). В потоке, движущемся в ламинарном режиме, частица падает с такой же скоростью, как и в покоящейся среде. Одновременно, переносимая потоком, она совершает горизонтальное перемещение с некоторой скоростью . Если размеры частицы небольшие, то эта горизонтальная скорость перемещения равна средней скорости потока  = Q/, где Q – производительность отстойника, м³/с;  = ВH – площадь сечения проточной части, м².

Время, которое потребуется частице для ее осаждения из самого верхнего слоя отстойника t = H/₀. За это время частица пройдет путь L = t = H/₀. Этот путь и равен необходимой (расчетной) длине отстойника.

В турбулентном потоке на частицу оказывает взвешивающее влияние вертикальная составляющая пульсационной скорости. Поэтому скорость падения частицы в турбулентном потоке будет больше, чем больше степень турбулентности потока (число Рейнольдса).

При расчете отстойника глубиной H = 35 м величину вертикальной составляющей скорости горизонтального турбулентного потока _в обычно принимают равной 1/30 величины средней скорости  движения воды в отстойнике. Поэтому скорость падения частицы в этих условиях будет  = ₀ - /30, а необходимая искомая длина отстойника будет равна:

.

Для определения режима движения необходимо вычислить число Рейнольдса:

,

где R – гидравлический радиус, м;  = 0,0110^-4 м²/с – кинематический коэффициент вязкости.

Критическое значение числа Рейнольдса для некруглых сечений Re_кр = 580.

Задача №9

Расход жидкости Q при истечении из отверстий и насадок определяется по формуле:

, (13)

где  - коэффициент расхода отверстия или насадка,  - площадь отверстия, м²; H – действующий напор над центром отверстия, м.

Коэффициент расхода отверстия можно принять равным 0,62, а насадка 0,82.

В данной задаче возможны два условия протекания воды из отсека I в отсек II:

при свободном истечении, когда (h₂ + H₂) h₁ (рис. 4а);

при истечении под уровень (затопленное отверстие), когда (h₂ + H₂)> h₁.

При свободном истечении действующий напор над центром отверстия равен H₁. При затопленном отверстии истечение будет происходить под действием напора h = (h₁ + H₁) - (h₂ + H₂). Величину коэффициента расхода следует брать той же, что и при свободном истечении.

Решение задачи начинаем с предположения о незатопленности отверстия.

Находим

.

Учитывая равенство расходов из отверстия и насадки, определяем

.

Если (h₂ + H₂)< h₁ – то расход определен правильно, в противном случае выполняем перерасчет, считая отверстие затопленным. В этом случае:

.

Из этого равенства находим H₂.

Проверяем условие затопляемости (h₂ + H₂)> h₁ и определяем искомый расход , после чего находим искомое значение h и выполняем проверку .

Задача №10

Если открытый порог преградить какой-либо стенкой, то вода, уровень которой повысится перед стенкой, начнет переливаться через нее Если в гребне этой стенки сделать специальный вырез – то через порог такого выреза. Стенка, через которую переливается вода, называется водосливной стенкой.

Область потока перед водосливной стенкой называется верхним бьефом (В.Б.), область потока за водосливной стенкой – нижним бьефом (Н.Б.).

Перелив воды через преграду с целью измерения расхода, регулирования уровня верхнего бьефа или организованного направления переливающейся струи называется водосливом.

Бывают водосливы различных типов. Кроме того, различают затопленные и незатопленные водосливы. Если уровень ниже водослива (глубина в нижнем бьефе) не влияет на истечение через водослив, то водослив будет незатопленным, а если влияет, то затопленным.

Основная расчетная формула для определения расхода через незатопленные водосливы всех типов с прямоугольной формой отверстия:

, (14)

где Q – расход, через водослив, м³/c; m₀ – коэффициент расхода водослива; b – ширина водослива, м; g – ускорение свободного падения, м/с²; H - напор на водосливе, м.

Для прямоугольного незатопленного водослива с тонкой стенкой без бокового сжатия коэффициент расхода m можно найти по формуле Базена:

, (15)

где P – высота водослива, м.

Приближенно можно принять m = 0,42.

Влияние затопления учитывается введением в формулу расхода коэффициента затопления _з:

.

Необходимым условием затопления является превышение условия нижнего бьефа над гребнем водослива. Однако это условие необходимо, но недостаточно. Вопрос о достаточности этого условия для затопления решается в зависимости от величины, так называемого, относительного перепада z/P по сравнению с критическим значением этого перепада (z/P)_кр.

При z/P >(z/P)_кр – водослив незатоплен, при z/P <(z/P)_кр – водослив затоплен и при z/P = (z/P)_кр – имеем критическое состояние.

При 0,30< z/P <2,50 можно принять с достаточным приближением: (z/P)_кр  0,70.