27. Способ вспомогательных секущих плоскостей для построения линии пересечения поверхностей. Видимость элементов пересеченных поверхностей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять тогда когда обе поверхности, возможно, пересечь по графически простым линиям – окружностям или прямым. В качестве плоскостей посредников можно выбирать проецирующие плоскости, плоскости уровня, плоскости общего положения.

Для решения задачи на пересечение поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей рекомендуется выполнять следующие основные этапы:

1. Анализ поверхностей. Необходимо выяснить, какие поверхности заданы, как эти поверхности расположены относительно друг друга и относительно плоскостей проекций.

2. Выбор вспомогательных секущих плоскостей. Плоскости выбираем таким образом, чтобы они пересекали заданные поверхности по прямым или окружностям

3. Нахождение характерных точек – точек, определяющих характер линии пересечения: точки на образующих поверхностей, высшие и низшие, левые и правые, ближние и дальние, а также точки, определяющие границы видимости линии пересечения на плоскостях проекций. В первую очередь определяем точки, не требующие дополнительных построений при нахождении их недостающих проекций.

4. Определение промежуточных ( случайных) точек, позволяющих более точно построить проекции линии пересечения поверхностей (их кол-во зависит от требуемой степени точности)

5. Построение линии пересечения с учетом видимости

6. Установление видимости очерков поверхностей.

28. Способ секущих концентрических сфер. Условия, при которых применяется этот способ. Видимость элементов пересеченных поверхностей.

Условия применения способа:

1. Обе пересекающиеся поверхности – поверхности вращения

2. Оси вращения этих поверхностей пересекаются. Точку пересечения осей вращения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер.

3. Пересекающиеся оси вращения образуют плоскость уровня или проецирующую. Если это условие не выполняется, то для его обеспечения предварительно необходимо применить способ замены плоскостей проекций.

Для решения задачи на пересечение поверхностей вращения способом вспомогательных концентрических сфер рекомендуется выполнить следующие основные этапы:

1. Анализ поверхностей

2. Проверка выполнения условия применения способа сфер

3. Нахождение опорных точек ( точек, лежащих на пересечении очерков поверхностей)

4. Построение сферы минимального радиуса (это сфера, вписанная в наибольшую из поверхностей и пересекающая другую)

5. Построение сферы максимального радиуса (это сфера, радиус которой равно расстоянию от центра сфер до максимально удаленной точки пересечения очерков поверхностей)

6. Построение промежуточных сфер

7. Построение линии пересечения с учетом видимости

8. Определение видимости очерков поверхностей

29.Закономерности проецирования линии пересечения поверхностей второго порядка( теорема Монжа и др.)

Порядок линии пересечения двух алгебраических поверхностей равен произведению порядков этих поверхностей .В отдельных случаях кривая пересечения может распадаться на линии низших порядков прямые или плоские кривые .Признаки распадения кривой 4-го порядка на две плоские кривые2 -го порядка даны в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА 1: Если две поверхности 2-го порядка пересекаются по одной кривой второго порядка, то они пересекаются по второй кривой второго порядка

Две поверхности прямой круговой конус и наклонный цилиндр пересекаются по окружности, которая является общим основанием. Для нахождения второй линии пересечения определяем точки 1 и 2 в которых пересекаются очерковые образующие поверхностей цилиндра и конуса. По этим точкам строим линию, которая будет являться эллипсом.

ТЕОРЕМА 2:(о двойном касании ) Если две поверхности 2-гопорядка имеют касание в двух точках то линия их пересечения распадается на две кривые 2-го порядка плоскости которых проходят через прямую соединяющую точки пересечения линий касания.

Точками касания поверхностей называются точки, через которые проходят плоскости касательные одновременно к двум поверхностям. На рис показано построение линии пересечения эллиптического цилиндра с прямым круговым конусом. На основании теоремы о двойном касании для нахождения линии пересечения поверхностей второго порядка имеющих две точки касания А и В достаточно определить опорные точки 1, 2, 3, 4 на пересечении очерков этих поверхностей относительно плоскости П₂ ). Горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией эллиптического цилиндра.

ТЕОРЕМА 3: (Теорема МОНЖА ) Если две поверхности второго порядка описаны около 3 -ей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее то линия их пересечения распадается на 2 кривые 2-го порядка плоскости которых проходят через прямую соединяющую точки пересечения линий касания. Эта теорема по существу является частным случаем теоремы 2.

Два круговых конуса описаны вокруг сферы. Для определения линии их пересечения определяют опорные точки в пересечении очерковых образующих конусов. Соединив полученные точки строим линию пересечения поверхностей в данном случае поверхности пересекаются по двум эллипсам.