8. Классификация задач. Позиционные и метрические задачи. Алгоритм решения задач.

Позиционные: на пересечение ( плоскостей; прямой и плоскости)

Метрические: на принадлежность (точка принадлежит прямой; прямая принадлежит плоскости)

Пересечение прямой и плоскости. Здесь исходят из позиций: если плоскость или прямая занимают проецирующее положение ( перпендикулярно плоскости проекций), тогда общий элемент ( точка или прямая) находится без дополнительных построений.

Если одна из пересекающихся фигур проецирующая, то сразу известна одна из проекций фигуры пересечения, она принадлежит вырожденной проекции данной проецирующей фигуры, а вторую проекцию фигуры пересечения можно определить из условия другой данной фигуры.

Алгоритм решения задач:

1. Заключить во вспомогательно проецирующую плоскость

2. Определить прямую пересечения

3. Отметить точки пересечения

4. Определить видимость

9. Общий алгоритм решения задач по определению точки пересечения прямой с плоскостью. Приемы построения точки пересечения прямой с плоскостью:

а ) или прямая или плоскость занимают проецирующее положение

б ) и прямая и плоскость занимают не проецирующее положение.

Алгоритм определения точки пересечения прямой с плоскостью:

1. Заключить прямую во вспомогательную проецирующую плоскость

2. Определить прямую пересечения вспомогательной плоскости с заданной

3. Отметить на пересечении полученной и заданной прямых общую точку

4. Определить видимость способом конкурирующих точек

10. Общий алгоритм решения задачи по определению линии пересечения двух плоскостей. Приемы построения проекций линии пересечения двух плоскостей:

а) или обе или одна из плоскостей занимают проецирующее положение

б) обе плоскости не занимают проецирующего положения.

Алгоритм по определению прямой пересечения двух плоскостей:

1. Ввести вспомогательную плоскость ( проецирующую или уровня)

2. Определить прямые пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданной

3. Отметить на пересечении полученных прямых общую точку

4. Определить видимость

11. Методика решения комплексных задач в нг. Параллельные плоскости. Прямая параллельная плоскости.

Наряду с позиционными и метрическими выделяют задачи комбинированные, представляющие собой различные сочетания позиционных и метрических. В каждом из 3-х типов задач можно выделить задачи элементарные ( имеющие четко сформулированный алгоритм) и комплексные ( решаются в 2 этапа: пространственное решение основывается на знаниях школьной геометрии; решение на чертеже с использованием НГ)

Схема составления плана решения комплексной задачи в пространстве:

1. Выявить все условия, связывающие искомую геометрическую фигуру с заданными

2. Представить геометрическую фигуру ( множества) точки которых удовлетворяют выявленным условиям

3. Найти пересечение этих фигур, которое будет исходным.

Рекомендуется исследование задачи. Доказательство правильности решения, над которым понимается логически построенная цепь рассуждений со ссылками на соответсвующие теоретические положения.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. При этом в качестве пересекающихся прямых могут быть приняты: прямые общего положения, горизонтали и фронтали плоскости, а также следы.

Параллельность прямой и плоскости:

1. Прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую ей параллельную.

2. Прямая параллельна плоскости, если она принадлежит плоскости параллельной данной.

12. Прямые и плоскости перпендикулярные между собой. Приемы построения на чертеже перпендикуляра к плоскости при различных способах задания плоскости ( следами, плоской фигурой и др). Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве таких 2-х прямых возьмем горизонталь и фронталь и воспользуемся теоремой о частном случае проецирования прямого угла.

В случае, когда плоскость выражена следами: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости. Для того чтобы построить прямую, перпендикулярную к плоскости , заданной треугольником, не следует строить следы плоскости. Необходимо сначала построить в плоскости горизонталь и фронталь, а затем провести проекции перпендикуляра под прямым углом к одноименным проекциям горизонтали и фронтали. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

В отношении перпендикулярности 2-х плоскостей общего положения очевидных признаков нет. Требуются дополнительные построения, которые должны опираться на следующее положение: одна плоскость перпендикулярна к другой, если она содержит перпендикуляр ко второй плоскости. Чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной, необходимо:

1. К заданной плоскости α построить перпендикуляр p и через него провести новую плоскость β

2. Построить в заданной плоскости α прямую l и провести плоскость β, перпендикулярную этой прямой.

13. Сущность преобразования проекций. Краткая характеристика классических способов преобразования ортогональных проекций. Применение способов преобразования проекций к решению позиционных и метрических задач.

Очень часто при решении позиционных и метрических задач с целью упрощения решения требуется построение новых дополнительных проекций исходя из 2-х заданных. Сущность преобразования проекций заключается в построении нового вида проекции, позволяющего решить задачу минимальными графическими средствами.

1. Способ замены плоскостей проекции – объект, не изменяя своего положения в пространстве, занимает частное положение в новой системе плоскостей проекций

2. Способы вращения – объект, вращаясь вокруг выбранной оси, занимает частное положение относительно существующей системы плоскостей проекций

3. Способ плоскопараллельного перемещения – объект, совершая плоскопараллельное движение, занимает частное положение относительно существующей системы плоскостей проекций.

1 преобразование: прямая общего положения преобразуется в прямую уровня. Используется для определения натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскости проекций.

2 преобразование: прямая уровня преобразуется в проецирующую. Используется для решения задач по определению ( расстояние между параллельными прямыми; расстояние между двумя скрещивающимися прямыми; расстояние от точки до прямой; натуральной величины двугранного угла и т.д.)

3 преобразование: плоскость общего положения преобразуется в проецирующую. Используется для решения задач по определению ( угла наклона плоскости к плоскости проекций; точки пересечения прямой с плоскостью; расстояния от точки до плоскости; точки, симметричной заданной, и т.д.)

4 преобразование: проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня. Используется для задач по определению ( натуральной величины плоской фигуры; угла между пересекающимися прямыми и т.д.)