Стационарные состояния. Уравнение Шредингера.

Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси-функции) (x,y,z,t). Если частица находится в определенном состоянии с энергией W=const, то вероятность dw обнаружить ее в элементе объема dV не зависит от времени: dw=||²dV=*dV, где *-функция, комплексно сопряженная с . Такое состояние частицы назы-вается стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитных волн. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид: +2m/i² (E-U)=0, где =²/x²+ +²/y²+²/z² – оператор Лапласа, E - полная энергия частицы (постоянная), U(x,y,z)- потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (x,y,z) - искомая волновая функция. Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на пси-функцию: а) функция  должна быть конечной, однозначной и непрерывной; б) частные производные от пси-функции по координатам должны быть непрерывны; в) функция ||² должна быть интегрируема, т.е. интеграл _-^+||² dV должен быть конечным.

Уравнение Шредингера. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной» яме.

Уравнение Шредингера в общем виде имеет вид: -i²/2m   +U(x,y,z,t) =i i /t, где =²/x²+²/y²+ +²/z² – оператор Лапласа, E - полная энергия частицы (постоянная), i =½h/, U(x,y,z,t)- потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, i - мнимая единица, (x,y,z,t) - искомая волновая функция.

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения U_макс. В частности, при U=U(x) и U_макс= имеется одномерная потенциальная яма бесконечной глубины. По условию задачи частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружить за пределами и на границах «ямы» равна нулю. В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению ²/x²+2m/i² E=0. Общее решение дифференциального уравнения (x)=Asin kx + Bcos kx, где k²=2mE/i² . Т.к. (0)= (ℓ)=0, то E_n=n²²i²/(2mℓ²) (n=1,2,3,…). Квантовые значения E_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, главным квантовым числом.

Квантовые числа

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы. Момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле L=i(ℓ(ℓ+1)), где ℓ - орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения ℓ=0,1,…,(n-1). Т.к. вектор L_e момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_ez на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные i: L_ez= im_ℓ, где m_ℓ-магнитное квантовое число – определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление. Абсолютная величина спинового момента импульса электрона L_ℓs находится по формуле L_ℓs =(s(s+1)) i, где s- спиновое квантовое число, равное s=½.