54 Таблица неопр интегралов.

1. ∫0*dx=C;

2. ∫1*dx=x+C;

3. ∫x^adx=(x^(a+1))/(a+1)+C;

4. ∫dx/x=ln|x|+C;

5. ∫a^xdx=a^x/ln(a)+C (0<a<>1), ∫e^xdx=e^x+C;

6. ∫sinx dx=-cosx+c;

7. ∫cosx dx=sinx+C;

8. ∫dx/cos²x=∫(1+tgx)dx=tgx+C (x<>pi/2+pi*n);

9. ∫dx/sin²x=∫(1+ctgx)dx=-ctgx+C (x<>pi*n);

10. ∫dx/(1-x²)^1/2=arcsinx/-arccosx (-1<x<1);

11. ∫dx/1+x²=arctgx/-arcctgx;

12. ∫dx/(x²+-1)^1/2=ln|x+(x²+-1)^1/2|+C (при - |x|>1);

13. ∫dx/1-x²=1/2ln|(1+x)/(1-x)|+C (|x|<>1);

14. ∫shx dx=chx+C;

15. ∫chx dx=shx+C;

16. ∫dx/ch²x=thx+C;

17. ∫dx/sh²x=cthx+C;

55 Метод интегрирования частями

Основывается на утверждении:

Пусть кажд из ф-й u(x) и v(x) диф на множ. {x} и, кроме этого, на этом множ. сущ первообр для ф-ции v(x)u’(x). Тогда сущ и первообр для u(x)v’(x), при чем справедливо:

∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx.

Можно записать ф-лу в виде: ∫udv=u(x)v(x)- ∫vdu.

Для док-ва возьмем ф-лу производной произведения, домножим на dx, и возьмем интеграл от прав и лев части. Получим необходимое.

Ф-ла сводит вопрос о нахождении ∫vdu к нахождению ∫udv. В ряде опред случаев ∫udv вычисляется без труда.

56 Метод замены переменной (метод подстановки).

Базируется на утверждении:

Пусть ф-я t=f(x) определена и диф на {x}, и пусть {t}—мн-во всех зн-й ф-ции. Пусть далее для g(t) на {t} сущ первообр равная: G(t)+C=∫g(t)dt;

Тогда всюду на {x} для ф-ции g(f(x))f’(x) сущ первообр, равная G[f(x)] т.е.

∫g[f(x)]f’(x)dx=G[f(x)]+С.

Для док-ва восп. прав диф сложн ф-ции.

d(G(f(x)))/dx=G’(f(x))f’(x);

и учесть что G’(t)=g(t). Этот прием применим не ко всякому интегралу. Но в ряде случаев он существенно упрощает процедуру интегр.

57. методы интегриров рац выражения

1. интегр мн-члена;

2. интегр рац дробей (общ сл-й);

3. разлож рац дробей на елементарные:

   1. метод неопр коэф.

   2. Метод вычеркивания.

4. Метод Остроградского.

1) Многочлен интегрируется согласно св-вам интеграла как сумма интегралов (получаем мн-член степени на 1 выше).

2)интеграл от рац дроби приводится к сумме интегралов от простейших дробей.

Простейшие дроби это дроби вида: I)A/(x-a); II)A/(x-a)^k III)(Mx+n)/(x²+px+q) IV) (Mx+n)/(x²+px+q)^k;

A,M,N э R; k э N;

I) II) решаются методом замены переменной.

III) ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)=∫(Mx+N)dx/((x²+px+p/4)+(q-p/4))= {x+p/²=t;q-p/2=a²} =∫(M(t-p/2)+N)dt/(t²-a²)=M/2∫2tdt/(t²-a²)+(Mp/2+N)∫dt/(t²-a²) подчеркнутые интегралы решаем заменой переменной.

∫2tdt/(t²-a²)=∫dt²/(t²-a²)

IV) ∫(Mx+N)dx/(x²+px+q)^k=∫(M(t-p/2)+N)dt/(t²-a²)^k=M/2∫2tdt/(t²-a²)^k+(N-Mp/2)∫dt/(t²-a²)^k;

∫2tdt/(t²-a²)^k=∫dt²/(t²-a²)^k;

3)

а) P(x)/Q(x)=(2x³+x²+x+2)/(x-

-1)²(x²+x+1)=A/(x-1)+B/(x-1)2+ +(Mx+N)/(x²+x+1)=

=(A(x³-1)+B(x²+x+1)+(Mx+N) (x²+x+1))/(x-1)²(x²+x+1).

P(x)=2x³+x²+x+2=Ax³-A+Bx²+Bx+B+Mx²-Mx²+Mx+Nx²-2Mx+N;

b) метод используется когда Q(x) имеет только действительные простые числа.

Q(x)=a₀(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n)

1/a₀dx/(x-a₁)…(x-a_n)=A₁dx/(x-a₁)+A_ndx/(x-a_n);

P(x)/(x-a₁)…(x-a_n)=A₁/(x-a₁)+…+A_n/(x-a_n);

P(x)/(x-a₁)…(x-a_n)=A₁(x-a_i)/(x-a₁)+…+A_n(x-a_i)/(x-a_n)

A_i=P(x)/(x-a_i)…(x-a_i-1)(x-a_i+1)…(x-a_n)

4)Метод Остроградского

позволяет алгебраическим способом выделить рацион. функцию. этот метод используется, если Q(x) имеет кратные корни.

Т.е. интеграл P(x)/Q(x) можно представить в виде:

P(x)/Q(x)=P₁(x)/Q₁(x)+P₂(x)dx/Q₂(x),

где Q₁(x)=НОД (Q(x),Q’(x)), Q₂(x)=(x)/₁(x) (Q(x)/Q₁(x))

степень Р₁(х) на 1 меньше Q₁(x), степень Р₂(х) на 1 меньше Q₂(x).

для Р₁(х) и Р₂(х) используется метод неопределённых коэффициентов.